（１）　スカラー場の線積分

　 スカラー場の線積分とは、 曲線上の全ての点に与えられているスカラー と その点における微小道のり との積の総和のことです。

　 ３次元スカラー場 の中に曲線 があるとき、 この曲線に沿ったスカラー の積分を線積分といい、 次のように表します。
　　　　

　 上記の式で、 時間 （ ） のパラメーターの代りに次の弧長を用いると、 スカラー の線積分は次のようになります。
　　　　
　　　　



例題 ：　 ２次元スカラー場 の中に次の曲線が存在します。
　　　　　　　　
　　　　スカラー を の範囲でこの曲線に沿って線積分しなさい。

（ 答 え ）
　 この曲線は、 中心が原点にあって、 半径 の円の の部分の弧を表しています。 この弧を から出発して積分していくことにします。 原点と弧上の点を結ぶ線分のＸ軸となす角度を としますと、 は弧長に等しくなっています。 したがって、 弧の曲線は次のように表すことができます。
　　　　
また、 での弧の長さは です。
したがって、
　　　　
　　　　

　 今は弧長にこだわって解答しましたが、 なにも弧長にこだわることはありません。 角度 をパラメーターにしてもかまいません。 このとき、 の範囲は、 になります。

　 高さ のカーテンが半径 の円の円周に沿って立てられていときのカーテンの面積は です。 ２次元平面のスカラー場の線積分はこのようなイメージなのです。 しかし、 これが３次元空間のスカラー場になりますと、 ちょっとイメージしにくくなります。 それについては、　解析学　＞　線積分のイメージ　をご覧ください。

（２）　ベクトル場の線積分

　 ベクトル場の線積分とは、 曲線上の全ての点に与えられているベクトル と その点における曲線の単位接ベクトル との内積の総和のことです。 たとえば、物質にした仕事を求めるときに用います。

　 　の単位接ベクトルは次のように表されます。
　　　　

ここで、 パラメーターを時間 （ ） から弧長 （ ） に変換します。 すると次のようになります。
　　　　
単位接ベクトル ：
　　　　

次のようなベクトル場の中に、 上の曲線があります。
　　　　
ベクトル場の線積分は次のようになります。
　　　　



例題 ：　 ２次元ベクトル場 の中に次の曲線が存在します。
　　　　　　　　
　　　　　ベクトル場 を の範囲でこの曲線に沿って線積分しなさい。

（ 答 え ）
　 この曲線は、 中心が原点にあって、 半径 の円の の部分の弧を表しています。 この弧を から出発して積分していくことにします。 原点と弧上の点を結ぶ線分の x 軸となす角度を としますと、 は弧長に等しくなっています。 したがって、 この曲線は次のように表すことができます。
　　　　
また、 この曲線の単位接ベクトルは次のようになります。
　　　　
また、 での弧の長さは です。
したがって、