【 問 題 １ 】

　長さ 20 cm の線分がある。その線分上に無作為に点を１つとり、そこで２分割する。そして長いほうの線分を選び、その線分を一辺とする正方形を作ってその面積を求める。これを無数回繰り返して平均をとると、その値はいくらになるか。

【 解 答 】

　選んだ線分を一辺とする正方形の面積の期待値を求める。それは次の方法によって求められる。
　１回の試行で選ぶ線分の長さを y とすると、 x ≦ y ≦ x ＋ dx　となる確率は次の式になる。
　　　　
　したがって、選んだ線分を一辺とする正方形の面積の期待値は次の式になる。
　　　　
　　　　　　　　

【 問 題 ２ 】

　面積が 100 cm² 〜 400 cm² の正方形の中から無作為に１つの正方形を選んだとき、面積の期待値を求めよ。

【 解 答 】

　　　　　　　　

　ここで次のような疑問が生じます。【 問題１ 】も【 問題２ 】も「 面積が 100 cm² 〜 400 cm² の正方形の中から無作為に１つの正方形を選んだとき、面積の期待値を求めよ。」という問題なのだが、答えが異なるってどういうこと？ どちらかが間違っているの？　いいえ、２つの問題の答えはどちらも間違っていませんよ。この不思議さを解消するために次の問題へ進んでください。

　　　　参考： ばいおりんの日常的物理学文集 ＞ 錯覚と物理学 ＞ 食い違う長さと面積の平均値

【 問 題 ３ 】

　一辺の長さが 10 cm 〜 20 cm の正方形の中から無作為に１つの正方形を選んだとき、面積と一辺の長さの期待値を求めよ。

【 解 答 】

まずはプログラミングシミュレーションをしてみましょう。


10万回シミュレーションプログラム：　　
　　一辺の長さに依り選択した場合：
　　　　一辺の長さの平均： 　← �@
　　　　面積の平均： 　← �A
　　　　　　　　※　一辺の長さの平均の２乗： 　← �B
　　面積に依り選択した場合：
　　　　一辺の長さの平均： 　← �C
　　　　面積の平均： 　← �D
　　　　　　　　※　面積の平均の平方根： 　← �E


シミュレーションの結果、次のようなことが分かります。
　　・ �@ の値はおよそ 15 である。
　　・ �D の値はおよそ 250 である。
　　・ �@ ＜ �C　　←　どうして �@ ＝ �C じゃないの？ （ 疑問その１ ）
　　・ �A ＜ �D　　←　どうして �A ＝ �D じゃないの？ （ 疑問その２ ）
　　・ �A ＞ �B　　←　どうして �A ＝ �B じゃないの？ （ 疑問その３ ）
　　・ �C ＜ �E　　←　どうして �C ＝ �E じゃないの？ （ 疑問その４ ）

プログラムの内容 ：

�@ の求め方：

　　　　　　　　　　　　　　

�A の求め方：

　　　　　　　　

�D の求め方：

　　　　　　　　

�C の求め方：

　　　　　
　　　　　

　正解はというと、正方形を平等に無作為に選んだ方、つまり、面積を依りに選択する方法の 一辺の長さの平均（ �C ） と 面積の平均（ �D ）です。 疑問その１ と 疑問その２ への答えは、「 一辺の長さを依りに選択する方法は、面積の小さい正方形ほど選ばれる確率が少し大きなっていて、真の意味での無作為な選択になっていないから。」です。

　では、どうして �C ＜ �E なのでしょうか？ この点が本当のパラドックスです。疑問その４について考えていきましょう。

　まず、２つの正方形で考えましょう。まず、一辺の長さが 1 m と 3 m の正方形で。 一辺の長さの平均は 2 m です。面積の平均は 5 m² です。面積の平均の正の平方根は約 2.24 です。 2 ＜ 2.24 です。次に、一辺の長さが 3 m と 5 m の正方形で。 一辺の長さの平均は 4 m です。面積の平均は 17 m² です。面積の平均の正の平方根は約 4.12 です。 4 ＜ 4.12 です。このように、２つの正方形の場合、面積の平均の正の平方根の方が一辺の長さの平均よりも必ず大きくなっています。それは、次の命題が真であることを証明することによって理解することができます。
　　　
　　　（ 証 明 ）
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

　このようにしてみると、�C ＜ �E は当たり前のように思えてきます。いくら標本数を増やしても �C ＜ �E は変わらないのです。したがって、 �C ＝ �E でなくて当たり前ということになります。

　※ 参照：
　　　 大学生のための数学 ＞ 数理論 ＞ 連続する自然数の和の平均 と 連続する自然数の２乗の和の平均の正の平方根
　　　 大学生のための数学 ＞ JavaScript ＞ JavaScript＿シミュレーション ＞ 地球儀の１点を選んだときの緯度の確率