（１） ２次元平面の曲線の接線

　 の値からなる集合と の値からなる集合があり、 前者から後者への写像を次のように表します。
　　　　　
　 は全ての実数として、 ， の直交２次元座標を用いて、 上記の写像 （ 関数 ） を表すと、 曲線になります。

　 曲線 ： の 点 における接線は次のように表されます。なぜなら、傾きが で 点 を通る直線だからです。

　　　　　


　 　に直交し原点を通る直線は、 次のように表されます。
　　　　　
この直線は 　や　　を通ります。
とうことは、 は、 ベクトル 　や　ベクトル 　に直交します。
ということは、 これらのベクトルは曲線の点 における法線の方向を表しているということで、 法線ベクトルと呼びます。

（２）　３次元空間の曲面の接平面

　 の値 と の値とのペアからなる集合 と の値からなる集合があり、 前者から後者への写像を次のように表します。
　　　　　
　 と は全ての実数として、 ， ， の直交３次元座標を用いて、 上記の写像 （ 関数 ） を表すと、 曲面になります。 この曲面の 点 における接平面を求めてみましょう。
　　　　　　　　　　　　　　参 照
　　　　　　　　　　　　　　　　

曲線の接線の式を応用すると曲面の接平面の式になります。
　　　　

この平面は、 ベクトル に直交します。
このベクトルに逆向きのベクトルは です。
ということは、 　や　 は、 曲面の点 における法線ベクトルであるということです。


この曲面は、 次の式で表されます。
　　　　
これは、 この曲面上の点の位置ベクトルを表したものです。


この曲面の単位法ベクトルは、 次の式で与えられます。
　　　　
これを計算すると、 次のようになります。