次のような数列があります。

a_k ＝ k　　（ k は 1 以上 n 以下の整数 ）
1　　2　　3　　4　　5　・・・・　n

次のような関数があります。

f (x) ＝ x　　（ x は 0 以上 n 以下の実数 ）

これから、から へと拡張する過程を示します。
まず、数列に a₀ ＝ 0　を付け加えます。

a_k ＝ k　　（ k は 0 以上 n 以下の整数 ）
0　　1　　2　　3　　4　　5　・・・・　n

次に、上記の数列の n 項までの和を考えます。

0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ ・・・・ ＋ n

これは次のように変形されます。
「 実は、幅 1 の棒グラフの面積の総和を求めているんだ。」とするのです。
　　　
そして、次のように積分へと拡張されます。
「 無数の棒グラフの幅は極小の dx であり、その面積の総和を求めるのだ。」とするのです。
　　　　　　　

　　　

ちなみに、次の式が成り立ちます。