正四面体は、 ６つの正方形の面からなる正六面体 （ 立方体 ） と異なり、 ４つの正三角形の面からなる立体です。 正四面体ＡＢＣＤの１つの頂点Ａからランダムに他の頂点に移動していきます。 ｎ 回移動した直後にどの頂点に存在するかを 「 ｎ 手目直後の状態 」 と言うことにします。

　 ｎ 手目直後の状態が Ａ または Ｂ または Ｃ または Ｄ になる確率は １ で、 そのすべての場合の数は ３^ｎ です。 これから、 ｎ 手目直後の状態がＡになる確率 Ｐ(ｎ) を調べてみましょう。

　 まず、 次のことは簡単に解ります。
　　　Ｐ(１) ＝ ０　　　Ｐ(２) ＝ 1 / 3

　 (ｎ−１) 手目直後の状態がＡの場合は ｎ 手目直後の状態がＡになることはなく、 (ｎ−１) 手目直後の状態がＡ以外の場合は、ｎ 手目直後の状態がＡになる確率は 1 / 3 です。 (ｎ−１) 手目直後の状態がＡ以外になる確率は １ − Ｐ（ｎ−１） ですので、 Ｐ（ｎ）は次のようになります。
　　　

この漸化式を解くには、 特性方程式を作ります。
つまり、Ｐ(ｎ) ＝ x 、　Ｐ(ｎ−１) ＝ x　と置いた式を作ります。
　　　３x ＝ １ − x　　よって、 x ＝ 1 / 4
したがって、 この漸化式は次のように変形することができます。
　　　

したがって、
　　　

したがって、
　　　
よって、
　　　

具体的には次のようになります。

　　　

シミュレーション ：

　



プログラムの内容 ：

　 ｎ 手目直後の状態がＡになる確率が分かれば、 ｎ 手目直後の状態がＡになる移動のすべての場合の数 Ｆ(ｎ) が分かります。 それは次の式から求めることができます。
　　　　Ｆ(ｎ) ＝ ３^ｎ × Ｐ(ｎ)

具体的には次のようになります。