\[ \begin{flalign} f\left(x\right)=\sin x　とおく&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \frac{d}{dx}f\left(x\right) = \lim_{h\to \infty}\frac{\ f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\ }{h}　より&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h\to \infty}\frac{\ \sin\left(x+h\right)-\sin x\ }{h}&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \lim_{h\to \infty}\frac{\ \sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x\ }{h}&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \lim_{h\to \infty}\left(\sin x\cdot\frac{\ \cos h-1\ }{h}+\cos x\cdot\frac{\ \sin h\ }{h}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \lim_{h\to \infty}\left(\sin x\cdot\frac{\ \cos^{2}h-1\ }{\ h\ \left(\cos h+1\right)\ }+\cos x\cdot\frac{\ \sin h\ }{h}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \lim_{h\to \infty}\left(\sin x\cdot\frac{\ -\sin^{2}h\ }{\ h\ \left(\cos h+1\right)\ }+\cos x\cdot\frac{\ \sin h\ }{h}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \lim_{h\to \infty}\left(\sin x\cdot\frac{\ \sin h\ }{h}\cdot\frac{\ -\sin h\ }{\ \cos h+1\ }+\cos x\cdot\frac{\ \sin h\ }{h}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sin x\cdot1\cdot0+\cos x\cdot1&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cos x&& \end{flalign} \]
　※ 参照：
　　　　大学生のための数学 ＞ 解析学 ＞ 三角関数の微分の証明
　　　　大学生のための数学 ＞ 解析学 ＞ tan θ の微分