（１） 自分位置確認システム

　 思考実験につき、 ２次元平面で、 電波をさえぎるものは無いものとしてください。 電波は、 風があろうとなかろうと周波数が大きかろうと小さかろうと、 常に一定の速さで伝わります。 電波の速さは光の速さに等しく、 それを とします。

　 三角形の３つの頂点 から、 １分毎に同時に電波を瞬間的に発信します。 周波数は の順に となっています。
　 自分は、 点 の位置が記された地図と受信機を持っています。 間の距離は とします。
　 同時に発信された の３つの電波をキャッチした時刻は、 の順で、 その差は順に であったとします。
　 自分は、 地図に双曲線を２つ書きます。 を焦点とする双曲線と を焦点とする双曲線です。 その２つの双曲線が交わるところが自分の位置です。
　 たとえば、 を焦点とする双曲線は、 を結ぶ直線上の点Ａ から点Ｂ に向かって の点を通ります。 線分 の中点を原点とし、 を結ぶ直線をχ軸とする をとりますと、 その双曲線は次の式で与えられます。
　　　　

　　　　　　　

この応用が、 ２つの電波灯台（ ロラン局 ）を利用する、 船舶の双曲線航法です。

（２） 他人位置確認システム

　 夫に１分毎に特定の周波数の電波を瞬間的に出すように設定した発信機を持たせます。 携帯電話にはその機能を持ったものがありますので、 それを使うといいでしょう。 三角形の３つの頂点 に受信機を置いて、 夫から放たれる電波を受信します。 同時刻に放たれた電波をキャッチした時刻は、 の受信機の順で、 その差は順に であったとします。
　 点 の位置が記された地図に双曲線を２つ書きます。 を焦点とする双曲線、 を焦点とする双曲線、 を焦点とする双曲線、 ３つ書いてもかまいません。 双曲線が交わるところが夫の位置です。 おっとやはりそこは風俗店でした。 ただし、 夫は風俗店が好きなのではありません。 風俗店が勝手に夫を呼び寄せるのです。 （ 夫とは筆者のことではありません。）

（３） 消滅放射位置確認システム

　 電子（ エレクトロン ）と 陽電子（ ポジトロン ）とが正面衝突すると、 対消滅し、 電子の静止質量に等しいエネルギーの光子（ γ 線 ）が２個放出されます。 これを消滅放射と言います。 この時、 各々の光子は元の電子と陽電子との運動量を保存するように、 正反対方向へ放出されます。 そこで、 周囲を取り巻くように多数の γ 線検出器を配置しておくと、 ２つの検出器がほぼ同時に γ 線を検出したとき、 その２つの検出器を結ぶ線分上のどこかで γ 線が発生したことがわかります。 そして、 いろんな方向の γ 線が発生している点を含む線分を重ねていくことによって、 γ 線が絶えず発生している点がわかります。
　 18-Ｆ（ フッ素 ）という陽電子（ ポジトロン ）を放出する放射性同位元素があります。 これをブドウ糖にくっつけて、 ヒトの血管内に注射します。 癌細胞は代謝が盛んでブドウ糖をたくさん取り込みますので、 癌に 18-Ｆ がたくさん集まります。 すると、 18-Ｆ がたくさんの陽電子を放出します。 放射された陽電子は細胞の中の水の原子の中の電子に正面突放し、 消滅放射が起こります。 こうして癌を見つけることができます。 これが、 最新の癌発見器である「 PET-CT 」のしくみです。