統計学 へ戻る半径３の円形の的に対して射的を行います。これまでの射的の成績から、次のことが分かっています。
当たった位置の的の中心からの距離を確率変数とすると、
確率密度分布は標準正規分布に従う。
当たる位置の的の中止からの距離の期待値はいくらになるでしょうか？
\(Desmos\) でシミュレーションしてみましょう。
的には的の中心が原点になるように２次元直交座標系が描かれているとし、３次元確率密度分布の \( \ 0\le x,\ 0\le y\ \ \) の部分のみを使って考えることにします。
点\(\ R\left(\ x,\ y\ \right) \) の位置にスカラー値 \( \sqrt{x^{2}+y^{2}\ }\ \) を与え、それを関数変数（ \(X\) ）とします。つまり、\( X=\sqrt{x^{2}+y^{2}\ }\) です。そして確率密度関数を \( P\left(\ X\ \right)\ \) で表します。 \(P\left(\ X\ \right)\ \) は正規分布なので、次の式が成り立ちます。
\( P\left(\ X\ \right)=P\left(\ x\ \right)\cdot P\left(\ y\ \right) \)
※ 標準正規分布を表す確率密度関数： \( f\left(X\right)\small=\normalsize\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ X^{2}\ }{2}} \)
したがって、\(\ f\left(X\right)\small=\normalsize\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\left( \frac{\ x^{2}\ }{2}+\frac{\ y^{2}\ }{2} \right)} \)
＝→\(\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ x^{2}\ }{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ y^{2}\ }{2}} \)
では、\(Desmos\) で期待値をシミュレーションしてみましょう。
-
\[ \begin{flalign}
\operatorname{normaldist}\left(0,1\right)&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
L=\operatorname{normaldist}\left(0,1\right).\operatorname{random}\left(10000\right)&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
E=\left|L\right|&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
R=\operatorname{normaldist}\left(0,1\right).\operatorname{random}\left(10000\right)&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
G=\left|R\right|&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
Q=\sqrt{L^{2}+R^{2}}&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
Q.\operatorname{mean}&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
E.\operatorname{mean}&&
\end{flalign} \]
\[ \begin{flalign}
G.\operatorname{mean}&&
\end{flalign} \]
\(x\) 軸方向への中心からの距離の確率密度が全体の 50% を占める偏差は−0.676 〜 0.676 くらいなので、\( \sqrt{0.676^{2}+0.676^{2}}\ ≒\ 0.956\ \) くらいかと思いましたが、期待値はもっと大きかったです。また、\(x\) 軸方向への中心からの距離の２乗の平均が１なので、１くらいかと思いきや、もっと大きかったです。その上、期待値は \( \sqrt{\left(E.\operatorname{mean}\right)^{2}+\left(G.\operatorname{mean}\right)^{2}\ }\ ≒\ \sqrt{2\ ×\ 0.795^{2}\ }≒\ 1.124\ \) よりも大きいのです。
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