サッカーの試合が終わった直後の反省会です。 イレブンが部室に集まりました。 そこでゴールキーパーが言いました。 「 今日は俺の凡ミスのために１対０で負けてしまった。 俺は今、 千円札を５枚持っている。 そこでみんなに500円ずつ罰金を払おうじゃないか。」 もちろんみんなはＯＫです。 そして、 この後の打ち上げの飲み会では、みんなでゴールキーパーにおごってやろうと思っています。 このチームのしきたりです。
　 さて、 おつりを払える人が５人、 おつりを払えない人が５人と半々でした。 このとき、 みんなに500円を支払っていく順には何通りあるでしょうか？　ちなみに、 みんながおつりを支払える場合は、 通りあります。

　 支払いの順番のルールは、 いつも、 その時までに、 おつりを支払える人に支払っている方が多いということです。 そこで、 次のようなプログラムを組んで答えを求めることにしました。

　 ただし、 実際は、 千円札を両替することのできる人が中に何人かいるもので、 それをしてから支払うと、 604800通りよりも多くなります。

　 さて、 このプログラムで求めた42通りというのは、　大学生のための数学 ＞ 数理論 ＞ カタラン数列　の中の、 格子を通って最短距離で原点から点Ｐに至る経路で、 原点 と 点Ｐ とを結ぶ線分よりも 軸に近づかないという条件を加えたときと同じであることが解ります。 したがって支払う人数が 人でそのうち人がおつりを持ち合わせていない場合は、 になることが解ります。