�Y． ヤコビアン

　 を「 ヤコビ行列（ 関数行列 ） 」といい、 で表します。 またヤコビ行列の行列式 を「 ヤコビアン 」といいます。「 ヤコビ行列 」は「 座標変換テンソル 」の表現行列の逆行列です。
　 は「 基底変換テンソル 」の表現行列と同じですので、 　と置くと、 次のようになります。
　　　　
　 位置ベクトル と 位置ベクトル を ２つの辺とする平行四辺形の面積は、 位置ベクトル と 位置ベクトル の外積の大きさで表されます。
　　　　

　 このようなヤコビアンの性質より、 ヤコビアンは、 次のように、 面積分における「 変数変換の公式 」に登場してきます。
　　　　

では、 例題を１つ解いて、 ヤコビアンを理解することにしましょう。
　 次のような を表現行列とする「 座標変換テンソル 」により、 時計回りに 回転し基底の大きさが になった新しい直交座標系へと、 ベクトルは座標変換されます。 このとき、 ヤコビアンはいくらですか？
　　　　
　 また、 元の直交座標系において、 　の４点からなる正方形の面積を、 ヤコビアンを用いて求めなさい。

　　（ 答 ）
　　　　　

　 元の直線座標系における正方形は、 座標変換により の４点からなる正方形に変換されます。 この面積は です。 ヤコビアンは ですから、 この正方形の面積の元の座標系での表示は になります。 したがって、 求める面積は です。


　 次に、 曲線座標系について考えてみましょう。 簡略化のために２次元とします。

　　　直交直線座標系： 　と　曲線座標系： 　があり、 ２つの座標系の間で座標の成分に次のような関係があるとき、
　　　
点 における曲線座標系の局所基底 は、 直交直線座標系の標準基底 を用いて、 次のように表されます。 と は 「 接ベクトル 」 です。
　　　　
これは、 ベクペアを用いて、 次のように書くことができます。
　　　　

　　　点 において、 曲線座標系を だけ微小に変位させたときの、 直交直線座標系での位置ベクトルの変位は、 次のようになることが知られています。
　　　　
　 このことは、 の逆行列を表現行列とする 「 座標変換テンソル 」 を用いて、 次のように書くことができます。
　　　　

　 これから、 　がヤコビ行列であることを述べます。

　　　　

　　　　
　　　　

　 以上のことは、 先ほど述べた と と整合性がありますので、 正しいことがわかります。 したがって、 　はヤコビ行列です。

　※ 参考： 大学生のための数学 ＞ 解析学 ＞ ヤコビアンの正体