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2019.11.17____

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【 問 題 １ 】

10個の区別のつかないミカンを４人で分け合う方法について、
　　　（１） １人が少なくとも１個 もらうという条件では、何通にあるか？
　　　（２） １個ももらわない人があってもいいという条件では、何通りになるか？

【 解 答 】

　（１）

　

　 その場合の数は、９個の楔から３個の楔を選ぶときの組み合わせの数と同じです。
つまり、 　通り になります。

　（２）

答えは、10個のミカンと３個の楔の計13個を一列に並べる場合の数です。
それは、13個の席から楔が着く３個の席の組み合わせの数と同じです。
したがって、 ₁₃Ｃ ₃　＝　858 通り　です。

【 問 題 ２ 】

　 ６ｍ 個 の区別がつかないボール を ３つの区別がつかない箱 に入れる場合、 何通りあるか？
　 ただし、 一個もボールが入らない箱があってもよいものとする。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 東大 1996年後期 入試問題より ）

【 解 答 】

　 ３つの箱を区別するとしたときの、 分け合うすべての場合の数 （ 空き箱になることもありうる ） は次のようになります。
　　　　　
　 ３つの箱を区別するとしたきのすべての場合の数は、 ６ｍ 個 の区別のない 〇 と２個の区別のない楔を一列に並べるすべての場合の数に等しいのです。 そしてそれは、 ６ｍ＋２ 個 の区別のある 位置（ 席 ） から ２個の 位置（ 席 ） を選ぶ 「 組み合わせ 」 に等しいです。 したがって、 ３つの箱を区別するときのすべての場合の数は上記のようになるのです。
　 ３つの箱を区別するとしたき、
　　　３箱ともボールの数が同じときは、 （ ２ｍ，２ｍ，２ｍ ） の １ とおりです。
　　　２箱だけボールの数が同じときは、 （ ０，０，６ｍ ）， （ １，１，６ｍ−２ ）， （ ２，２，６ｍ−４ ）， ・ ・ ・ ・ ，（ ３ｍ，３ｍ，０ ）　の ３ｍ＋１ とおり から （ ２ｍ，２ｍ，２ｍ ） の １ とおり を除いた ３ｍ とおり　を ３倍 （ ₃Ｃ₂ 倍 ） した数 ３ｍ × ３ とおり です。
　　　３箱ともボールの数が異なるときは　　です。

　３箱ともボールの数が同じ場合、３つの箱を区別するときは、 ３つの箱を区別しないときの場合の数と同じです。
　２箱だけボールの数が同じ場合、 ３つの箱を区別するときは、 ３つの箱を区別しないときの場合の数の ３倍 （ ₃Ｃ₂ 倍 ） になっています。
　３箱ともボールの数が異なる場合、 ３つの箱を区別するときは、 ３つの箱を区別しないときの場合の数の ６倍 （ ₃Ｐ₃ ＝ ３！ 倍 ） になっています。

　 したがって、 ３つの箱を区別しないときのすべての場合の数は、 次のようになります。
　　　　１　＋　（ ３ｍ × ３ ） ÷ ３　＋　18ｍ² ÷ ６　＝→　３ｍ² ＋ ３ｍ ＋ １　（ とおり ）