（１）　 破産ゲーム その１

　 Ａ君は ｍ 円、 Ｂ君は ｎ 円 持っています。 じゃんけんをして負けた方は勝った方に １ 円 渡します。 どちらかの所持金がなくなるまで続けます。 Ｂ君が破産する確率はいくらですか？

　 Ｂ君の所持金が ｋ 円 のとき、 Ｂ君が破産する確率を Ｐ_ｋ とします。 すると、 次の漸化式が成り立ちます。
　　　　　Ｐ_ｋ　＝　1/2 × Ｐ_ｋ＋１　＋　1/2 × Ｐ_ｋ−１　　　　・ ・ ・ ・　
　　　　　　　　　　　（　Ｐ_０　＝　1 ，　　Ｐ_ｍ＋ｎ　＝　０　）

より、　Ｐ_ｋ＋１　−　Ｐ_ｋ　＝　＋　Ｐ_ｋ　−　Ｐ_ｋ−１
ゆえに、 Ｐ_ｋ は 等差数列である。 公差をＳとすると、
　　　　Ｐ_ｋ　＝　Ｓ×ｋ ＋ １　　　　（ ｋ ＝ ０，１，２，・ ・ ・ ）
Ｐ_ｍ＋ｎ　＝　０　より、　０　＝　Ｓ（ ｍ＋ｎ ） ＋ １
よって、　Ｓ　＝　−１ /（ ｍ＋ｎ ）
よって、　Ｐ_ｋ　＝　−ｋ /（ ｍ＋ｎ ）＋ １
よって、　Ｐ_ｎ　＝　−ｎ /（ ｍ＋ｎ ）＋ １　＝→　ｍ /（ ｍ＋ｎ）
これが答えになります。

（２）　破産ゲーム その２

【 問 題 】
　最初に１円が与えられる。その後にコイントスして表が出れば２円もらえ、裏が出れば１円を失う。これを繰り返して行くのだが、手持ちのお金が無くなった時点でゲームセットである。永遠にゲームが続く確率を求めよ。


【 解 答 】
　１円を持っているときにゲームセットになる確率は、２円を持っているときに手持ちのお金が１円になる確率と等しく、３円を持っているときに手持ちのお金が２円になる確率と等しく、４円を持っているときに・・・・。
　というわけで、１円を持っているときにゲームセットになる確率を P₁、n 円を持っているときにゲームセットになる確率を P_n とすると、次の式が成り立つ。
　　　P_n ＝ P₁ⁿ 　　・・・ �@

　一方、次の漸化式が成り立たつ。
　　　P_n ＝ (1/2) P_n−1 ＋ (1/2) P_n＋2 　　・・・ �A

�@を�Aに代入して、
　　P₁ⁿ ＝ (1/2) P₁ⁿ⁻¹ ＋ (1/2) P₁^n＋2
よって、
　　2 P₁^n＋1 ＝ P₁ⁿ ＋ P₁^n＋3
よって、
　　2 P₁ ＝ 1 ＋ P₁³
よって、
　　P₁³ − 2 P₁ ＋ 1 ＝ 0
よって、
　　( P₁−1 ) ( P₁²＋P₁−1 ) ＝ 0
よって、
　　
0 ＜ P₁ ＜ 1 だから、
　　
したがって、答えは、１から P₁ を引いて、
　　　　( ≒ 0.382 )

コンピューターシミュレーション：

　　　




プログラムの内容 ：

（３） 破産ゲーム その３

　 ９円持っています。 １秒ごとに １ 〜 20 の自然数から無作為に１つ選び、 ９以下ならば １ 円失い、 10以上ならば １ 円 取得します。 ０円になったら負け、 20円になったら勝ち、 10分たっても決着がつかなければ引き分けとします。 負ける確率は何％でしょう？　１万回試行してみます。

　




　 思ったよりも負ける確率は少なかったのではないでしょうか？
　 この問題は 「 破産の確率 」 と言われ、 最後まで決着をつける場合は、 確率漸化式から理論的に答えを求めることができますので、 やってみましょう。

最初に ｎ 円 持っているときに負ける確率を とすると、
　　　　　
　 第１回目に１円取得する確率に１円取得した直後における負ける確率をかけたもの と 第１回目に１円失う確率に１円失った直後における負ける確率をかけたもの とを加えたものは、 まだ勝負が始まっていないときの最初に ｎ 円 持っているときに負ける確率に等しいので、 次の式が成り立つ。
　　　　　
第２回目以降も同様になるので、 一般に上式は成り立つ。


　 したがって、 は、 初項 、 公比 の ｎ ＝ ０ から始まる 等比数列であることがわかる。 したがって、
　　　


　 したがって、 は、 初項 、 公比 １ の ｎ ＝ ０ から始まる 等比数列であることがわかる。 したがって、
　　　

から を 辺々ひくと、
　　　

ｎ ＝ 20 のとき、
　　　
を に代入して、