数理論 へ戻る補数とは、ある自然数に加えたときに１桁以上増す数のうち最も小さい数のことです。
したがって、２進数 11 の補数は 1 で、２進数 10 の補数は 10 になります。
10進数の自然数で考えます。 a ＞ b とします。 a は n 桁の数とします。
c ＝ a ＋ b ＝ 10 n となるとき、 c を a についてのアウフヘーベン数ということにしましょう。
a についての補数 b を求めるには アウフヘーベン数 c から a を引けばよいです。
a と b の桁数が同じときには、a についての補数は b であり、b についての補数は a ですが、a と b の桁数が異なるときには、a についての補数は b であるので b についての補数は a であるとするのは間違いになります。
a と b の桁数が同じ n 桁のとき、「 a と b は アウフヘーベン数 10 n について互いに補数の関係になっている。」と言うことにしましょう。
0 から 15 までの整数を２進数を使って表すと 0 〜 1111 になります。
0 から 15 までの整数を16進数を使って表すと 0 〜 9,a,b,…f になります。
−8 から 7 までの整数を２進数を使って表すと 1000 〜 0111 になります。
４桁目の数は、1 ならば正の符号を表し、0 ならば負の符号を表します。
４桁目の数が 0 ならば負の数であることはすぐにわかりますが、はたしてそれが何の数なのかはすぐに分かりません。次のようにすると分かります。
３桁までの数の 0 と 1 を入れ替えてから 1 を加える。
※ ただし、−８は 1000 であると覚えておいてください。
たとえば、1101 ならば 011 です。011 は 10進数の 3 に当たりますので 1101 は 10進数で言うと−3 になります。
全体集合を 0 〜 30 までの整数とし、15以下の数についてのみ足し算を認めるものとします。足し算、たとえば 15 ＋ 15 を２進数で表すと、次のようになります。
1111 ＋ 1111 ＝→ 11110
全体集合を−8 から 7 までの整数とし、足し算、たとえば−8 ＋ 5 を２進数で表すと、次のようになります。
1000 ＋ 0101 ＝→ 1101
全体集合を−8 から 7 までの整数とし、それを２進数で表し、−1 をかけて符号を変える演算をするには、次のようにします。
４桁までの数の 0 と 1 を入れ替えてから 1 を加える。
たとえば 0011 に−1 をかけると 1101 となります。
全体集合を−8 から 7 までの整数とし、足し算、たとえば 5 ＋(−5) を２進数で表すと、次のようなります。
0101 ＋ 1011 ＝→ 10000
５桁目を消して４桁にすると、0000 になります。これは 0 という数を表しています。
全体集合を−8 から 7 までの整数とし、４桁の２進数で表すと、n と−n はアウフヘーベン数 10000 について互いに補数の関係になっています。コンピューターをこの原理を使って引き算をしているのです。
※ 参照： 大学生のための数学 ＞ プログラミング ＞ 電子計算機のしくみ ＞（５）２進数の減法の電子計算方法
n を足す演算は時計回りに n 移動すること。
n を引く演算は反時計回りに n 移動すること。
３＋７ → 0011 ＋ 0111 ＝→ 1010 → −( 0110 ) → −６
５＋３ → 0101 ＋ 0011 ＝→ 1000 → −８
−２＋５ → −1×( 0010 ) ＋ 0101 → 1110 ＋ 0101 ＝→ 11011 → 1011 → → ３
３−５ → ３＋(−５)
→ 0011 ＋{−1×( 0101 ) } → 0011 ＋ 1011 ＝→ 1110 → −( 0010 ) → −２
４−４ → ４＋(−４)
→ 0100 ＋{−1×( 0100 ) } → 0100 ＋ 1100 ＝→ 10000 → 0000 → ０
−２−５ → −２＋(−５) → {−1×( 0010 ) }＋{−1×( 0101 ) }
→ 1110 ＋ 1011 ＝→ 11001 → 1001 → −( 0111 ) → −７
−６−４ → −６＋(−４) → {−1×( 0110 ) }＋{−1×( 0100 ) }
→ 1010 ＋ 1100 ＝→ 10110 → 0110 → ６
というわけで、集合を−8 から 7 までの整数とし、加法や減法を以上のように定義すると、「この集合は加法と減法に関して閉じている」ことになります。
数字を円順列に記するプログラム（ 十進BASIC ）：