（１）　楕円の方程式

　 物理学で登場する楕円の代表は、 惑星の軌道です。
　 下図を見てください。 点 は、 ２点 ， からの距離の和が です。 点 に成り得るすべての と のペアで作られる集合をＳ とします。軸 と 軸 からなる２次元平面グラフを使って集合Ｓを表したとき、 集合Ｓ は楕円になりますが、 それはどんな方程式で表わされるでしょうか？

　　　　


　　　　
　　　　
　　　　
以上が解答になります。

　 ここで、 と置きますと、 上の式は次のようになります。
　　　　　
　 この式が一般的な楕円の方程式です。 次のような と のペアたちがこの式を満たすことは明瞭です。
　　　　
　 したがって、 この楕円は、 原点を中心とする、 長軸の長さが で 短軸の長さが の楕円であることが解ります。
　 　つまり　 は 「 楕円の焦点 」 と言われます。

　　　　



（２）　放物線の方程式

　 物理学で登場する放物線の代表は、 一様な重力場において放り投げられた物質の軌道です。
　 下図を見てください。 点は、 点 と 直線 からの距離が等しくなっています。 点 に成り得るすべてのと と のペアで作られる集合をＴ とします。 軸 と 軸 からなる２次元平面グラフを使って集合Ｔ を表したとき、 集合Ｔ は下に凸の放物線になりますが、 それはどんな方程式で表わされるでしょうか？

　　　　

　　　　
以上が解答になります。

　 この放物線は、 原点を通り、 軸に対して対称です。 は 「 放物線の焦点 」 と言われます。 ここで、 放物線上の点 の原点からの位置ベクトルを 倍にした位置ベクトルを有する点 について考えます。 点 が の範囲で動いたときに、 点 はどのような軌跡を描くでしょうか？

　 とすると、
　　　　　　
以上が解答です。

　 この式を見ますと、 点 が描く軌道は原点を通る下に凸の放物線であることが解ります。 このことから、 全ての放物線は相似形になっていることが解ります。