【 問 題 】

\(x\) 軸を通り \(x\ y\) 平面と 45 度の角度で交わる平面の方程式を求めよ。

【 解 答 】

　　\(z=f\left(\ x,\ y\ \right)\ =\ y \)　　または　　\(z=f\left(\ x,\ y\ \right)\ =-y \)

なぜなら、
　　　大きさ１の法線ベクトル（ 面の姿勢方向を表すベクトル ）：\( \left(\small\ \ 0,\ \large-\frac{1}{\ \sqrt{2}\ },\ \frac{1}{\ \sqrt{2}\ }\ \right) \)
　　を持つ平面が点 \( \left(\ 0,\ 0,\ 0\ \right) \) を通るとき、平面の方程式は次のようになるので、
　　　　　\( 0\times\left(x-0\right)\ -\ \frac{1}{\ \sqrt{2}\ }\times\left(y-0\right)\ +\ \frac{1}{\ \sqrt{2}\ }\normalsize\times\left(z-0\right)\ =\ 0\)
　　よって、 \( z = y\)

　　　大きさ１の法線ベクトル（ 面の姿勢方向を表すベクトル ）：\( \left(\small\ \ 0,\ \large\frac{1}{\ \sqrt{2}\ },\ \frac{1}{\ \sqrt{2}\ }\ \right) \)
　　を持つ平面が点 \( \left(\ 0,\ 0,\ 0\ \right) \) を通るとき、平面の方程式は次のようになるので、
　　　　　\( 0\times\left(x-0\right)\ +\ \frac{1}{\ \sqrt{2}\ }\times\left(y-0\right)\ +\ \frac{1}{\ \sqrt{2}\ }\normalsize\times\left(z-0\right)\ =\ 0\)
　　よって、 \( z=-y\)

※ 参照： 大学生のための数学 ＞ ベクトル解析 ＞ 直線・平面・空間の方程式