繰り返される交換の確率 確率 へ戻る
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2019.09.12____

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　【 問 題 】

　 今、 Ａ君とＢ君は、 それぞれ、 白玉１個 と 赤玉３個 を持っています。 これから、２人とも無作為に１個を選んで交換します。 その交換をｎ回繰り返したとき、 Ａ君が白玉を１個も持っていない確率を求めなさい。


ヒント ：
　　交換をｎ回繰り返したとき、
　　　　Ａ君が白玉を０個持っている確率 （ Ｒ_ｎ とする ）
　　　　Ａ君が白玉を１個持っている確率 （ Ｐ_ｎ とする ）
　　　　Ａ君が白玉を２個持っている確率 （ Ｑ_ｎ とする ）
　　Ｒ_ｎ ＋ Ｐ_ｎ ＋ Ｑ_ｎ　＝　１
　　Ｒ_ｎ　＝　Ｑ_ｎ



　【 解 答 】
　 Ａ君が白玉を１個持っている状態から、１回の交換によって、 次の３つの状態に移る可能性があります。
　　　　Ａ君が白玉を０個持っている状態
　　　　Ａ君が白玉を１個持っている状態
　　　　Ａ君が白玉を２個持っている状態

　 Ａ君が白玉を ０ 個持っている状態から、１回の交換によって、 次の２つの状態に移る可能性があります。
　　　　Ａ君が白玉を０個持っている状態
　　　　Ａ君が白玉を１個持っている状態

Ｒ_ｎ＋１　＝　( 1 / 4 × 3 / 4 ) Ｐ_ｎ ＋　( 1 / 2 ) Ｒ_ｎ

これに　Ｐ_ｎ ＝１− ２ Ｒ_ｎ　を代入して
　　　Ｒ_ｎ＋１ ＝　( 3 / 16 ) （１− ２ Ｒ_ｎ ） ＋ ( 1 / 2 ) Ｒ_ｎ
　　　　　　＝→　3 / 16　＋　( 1 / 8 ) Ｒ_ｎ　　・ ・ ・ ・

　 ここで、 テクニックとして、 Ｌ ＝ 3 / 16 ＋ ( 1 / 8 ) Ｌ　とおくと、 Ｌ ＝ 3 / 14 　ですので、
は次のようになります。
　　　Ｒ_ｎ＋１ − 3 / 14　＝　( 1 / 8 ) （ Ｒ_ｎ − 3 / 14 ）
したがって、
　　　Ｒ_ｎ − 3 / 14　＝　( 1 / 8 ) ^ｎ（ Ｒ₀ − 3 / 14 ）
　　　　　　　　　　＝→　−3 / 14　×　( 1 / 8 ) ^ｎ
したがって、
　　　Ｒ_ｎ ＝　3 / 14　× ｛１− ( 1 / 8 ) ^ｎ ｝

たとえば ｎ ＝ １　のとき、
　　　Ｒ₁　＝　3 / 16　＝→　0.1875
たとえば ｎ ＝ 10　のとき、
　　　Ｒ₁₀　≒→　0.214285714086145　≒→　0.2143
　　　　　　　　　　　　　　　　＊　3 / 14　≒　0.214285714285714


　





プログラムの内容 ：




　【 解 説 】
行にＡ君とＢ君、列に白玉と赤玉をとって行列を作ります。
すると、この問題は、次の3つの行列の遷延の確率を求める問題になります。

　　　

　線形代数学 ＞ マルコフ過程の例題　の中にある確率問題にも是非チャレンジしてみてください。