｢ ある点の座標軸からの角度 ｣ を、その座標軸の基底ベクトルにその点の位置ベクトルを外積させてできるベクトルの正の方向から見て、その点の位置ベクトルがその座標軸に対して反時計回りに形成する角度のことである、とします。

　球面上の点の座標を表すのに 球座標表示 という方法があります。 球の中心を原点とする３次元直交座標系を作リ、\( z\) 軸の正の部分が貫く球の表面を上極、\( z\) 軸の負の部分が貫く球の表面を下極とし、\( x\ y\) 平面が切断する球の内部の平面を赤道断面と言うことにします。

球座標表示 \( \ \left(\ r,\ \phi,\ \theta\ \right) \)
　　　　　　　　\( r\ \ は球の半径 \)
　　　　　　　　\( \phi\ \ は対象点の\ x\ y\ 平面上への投影点の\ x\ 座標軸からの角度 \)
　　　　　　　　\( \theta\ \ は対象点の\ z\ 座標軸からの角度 \)

\( \ \left(\ x,\ y,\ z\ \right)=\left(\ r\ sin\theta\ cos\phi,\ r\ sin\theta\ sin\phi,\ r\ cos\theta\ \right) \)

次の \( \left(\ x,\ y\ \right)\ \) は球の表面の曲面上の \( \left(\ x,\ y\ \right)\ \) です。
　　　同じ緯度上では、 \( dx=r\ sin\theta\ d\phi \)
　　　同じ経度上では、 \( dy=r\ d\theta \)

球の表面積：

\[ \begin{flalign} \int_{s}\ ds\ =\int\int_{s}\ dx\ dy\ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ r\ sin\theta\ d\phi\ \ r\ d\theta\ =\to\ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ r^2\ sin\theta\ d\phi\ d\theta&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ =\to\ \int_{0}^{2\pi}\left\{\int_{0}^{\pi}r^{2}\sin\theta\ d\theta\right\}\ d\phi=\to\ r^{2}\int_{0}^{2\pi}\left\{\int_{0}^{\pi}\sin\theta\ d\theta\right\}\ d\phi&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ =\to\ r^{2}\int_{0}^{2\pi}\left\{\ \left[-\cos\theta\ \right]_{0}^{\pi}\right\}\ d\phi&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ =\to\ r^{2}\int_{0}^{2\pi}\left\{-cos\pi+cos 0\ \right\}\ d\phi=\to\ r^{2}\int_{0}^{2\pi}\left\{\ 2\ \right\}\ d\phi&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ \ =\to\ 2r^{2}\left[\ \phi\ \right]_{0}^{2\pi}=\to\ 4\pi r^{2}&& \end{flalign} \]

　※ 参照： 大学生のための数学 ＞ その他の数学 ＞ ３次元極座標表示（ 球座標表示 ）