【 問 題 】

１ 〜 ｎ までの ｎ 枚のカードが無作為に横一列に並べられています。
　（１） １ と ２ が 隣同士になっている確率はいくらか？
　（２） 隣同士が（ 左側 ＝ ｍ， 右側 ＝ ｍ＋１ ）の関係になっているとき
　　　１点が与えられる。 総合得点の期待値はいくらか？
　（３） 隣同士のカードの数の差が１になっているとき１点が与えられる。
　　　総合得点の期待値はいくらか？

【 解 答 】

（１）
　　　カードの並べ方すべての場合の数は ｎ！ とおり
　　　１ と ２ のペアの並べ方は ２とおり
　　　１ と ２ のペアが ｎ−１ 個の席のうちどこに存在するのかは全部で ｎ−１ とおり
　　　残りの ｎ−２ 個の席に ３ 〜 ｎ を配置する場合の数は（ｎ−２）！ とおり
　　　したがって、１ と ２ が 隣同士になっている確率は、
　　　　　　

　シミュレーション：
１ 〜 ｎ までの番号が １ 本ずつ入ったくじがあります。
１ 本ずつ引いていったときに、 1　2　または　2　1　と続いて出る確率は？


　　ｎ ＝ 　（ 2 〜 100 ）　　　






（２）
　　　一番左側のペアが（ 左側 ＝ ｍ ， 右側 ＝ ｍ＋１ ）の関係になる場合は、
　（ １，２ ），（ ２，３ ），（ ３，４ ），・ ・ ・（ ｎ−１，ｎ ）のどれかであり、
　　それらの確率はすべて　1 / ｎ × １ / （ ｎ−１ ）　であるから、
　　一番左側のペアが（ ｍ， ｍ＋１ ）の関係になる確率は １ / ｎ である。

　　　左から２番目のペアが（ ｍ， ｍ＋１ ）の関係になる場合は、
　（ １，２ ），（ ２，３ ），（ ３，４ ），・ ・ ・（ ｎ−１，ｎ ）のどれかであり、
　　それらの確率はすべて　1 / ｎ × １ /（ ｎ−１ ）　であるから、
　　左から２番目のペアが（ ｍ， ｍ＋１ ）の関係になる確率は １ / ｎ である。
　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　・
　　　一番右側（ 左から ｎ−１ 番目 ）のペアが（ ｍ， ｍ＋１ ）の関係になる場合は、
　（ １，２ ），（ ２，３ ），（ ３，４ ），・ ・ ・（ ｎ−１，ｎ ）のどれかであり、
　　それらの確率はすべて　1 / ｎ × １ /（ ｎ−１ ）　であるから、
　　一番右側のペアが（ ｍ， ｍ＋１ ）の関係になる確率は １ / ｎ である。

　　　したがって、 求める期待値は、
　　　　 （ １ 点 × １ / ｎ ）×（ ｎ−１ ） ＝→ （ ｎ−１ ）/ ｎ　点

　「 または 」の確率は、「 かつ 」の確率と違って、 独立事象であることを確認しながら掛け合わせていくという作業はなく、 ただ足し合わせるという作業なので、 簡単です。

　　　　これとは逆のことあり ：　確率 ＞ 「 または 」の落とし穴

　シミュレーション：
１ 〜 ｎ までの番号が １ 本ずつ入ったくじがあります。
１ 本ずつ引いていったときに、 ちょうど前の番号よりも１つ大きい数であるとき、
１点獲得することができます。
すべての くじ を引いたときの得点の期待値は？


　　ｎ ＝ 　（ 2 〜 100 ）　　　







（３）
　　　答え ：　２（ ｎ−１ ）/ ｎ　点

　　　シミュレーション ：
　　　　　１ 〜 ｎ までの番号が１本ずつ入った くじ があります。
　　　　　１ 本ずつ引いていったときに、 ちょうど前の番号の隣の数であるとき、
　　　　　１点獲得することができます。
　　　　　すべての くじ を引いたときの得点の期待値は？


　　　　　　　ｎ ＝ 　（ 50 以下 ）　　　

　　　　　

　　　　プログラム ：
　　


　「 以上の結果から推測して、 カードの数を相当に多くすれば、 その中に２組だけ連番が存在するようになるのだ。」と考えるのは間違いです。 連番が全く存在しない場合も結構あるのです。

　　シミュレーションその２ ：
１ 〜 ｎ までのカードが １ 枚ずつあります。
無作為に １ 列に並べたとき、 隣同志の差が １ になっている
ことの全くないケースの数は？ （ 10万回試行 ）


　　ｎ ＝ 　（ 500 以下 ）