ピタゴラス素数とは、２個の平方数の和で表すことのできる２以外の素数のことです。ある数がピタゴラス素数であるための必要十分条件は「その数は素数であり、かつ、４で割ると１余る数であること」です。このことは、次のプログラムを実行すると実感できます。２個の平方数の和で表すことのできる２以外の素数 を探し出すことと、４で割ると１余る素数を探し出すことを行うと、同じ結果になるのです。

　　（ 対象は 300 以下の自然数 ）



プログラムの内容 ：

【 問 題 】

n は素数とする。
次の方程式で表されるグラフが１個以上の格子点を通るならば、n は４で割ると１余る数であることを証明せよ。
　　　x² ＋ y² ＝ n

【 解 答 】

　この方程式で表されるグラフは、原点を中心とする半径 \( \sqrt{\ n\ } \) の円である。「 方程式のグラフが格子点を通る 」ということは、「 その方程式を満たす整数の組み合わせ（ x, y ）が存在する 」ということである。
　n は素数なので、x と y はどちらか一方が奇数でもう一方が偶数になっている。
そこで、 x ＝ 2n＋1,　y ＝ 2m　と置く。
　　　n ＝ x² ＋ y²　＝→　4n² ＋ 4n ＋ 1 ＋ 4m²　＝→　4 × ( n² ＋ n ＋ m² ) ＋ 1
したがって、 n は４で割ると１余る数である。

( 付 録： ピタゴラス素数の必要十分条件は「４で割ると１余る素数」であることの証明 )

　「ある数がピタゴラス素数ならば、その数は４で割ると１余る数である。」という命題 と 「 ある素数が４で割ると１余る数ならば、その数はピタゴラス素数である。」という命題 が共に真であることを証明すればいいのですが、直接的な証明は難しそうです。そこで、次のように考えます。

　ピタゴラス素数（ \( k \) ）を構成する２つの平方数の正の平方根の組み合わせ（ \( x,\ y \) ）は、両方とも偶数、両方とも奇数、一方が奇数で他方が偶数 の３通りのうちのどれかである。
\( x=2n　かつ　y=2m \)　の場合
　　　\( k= x^{2}+y^{2}\ =\to\ 4n^{2}+4m^{2} \)
　 　　　　　　　　\( =\to\ 4×\left(\ n^{2}+m^{2}\ \right) \)
　　　したがって、 \( k\ は４で割ると０余る数である。\)
　　　ということは、 \( k\ は偶数であり、２以外の素数ではないので矛盾する。\)

\( x=2n+1　かつ　y=2m+1 \)　の場合
　　　\( k= x^{2}+y^{2}\ =\to\ 4n^{2}+4n+1+4m^{2}+4m+1 \)
　 　　　　　　　　\( =\to\ 4×\left(\ n^{2}+n+m^{2}+m\ \right)+2 \)
　　　したがって、 \( k\ は４で割ると２余る数である。\)
　　　ということは、 \( k\ は偶数であり、２以外の素数ではないので矛盾する。\)

\( x=2n+1　かつ　y=2m \)　の場合
　　　\( k= x^{2}+y^{2}\ =\to\ 4n^{2}+4n+1+4m^{2} \)
　 　　　　　　　　\( =\to\ 4×\left(\ n^{2}+n+m^{2}\ \right)+1 \)
　　　したがって、 \( k\ は４で割ると１余る数である。\)
　　　ということは、\( k\ は奇数であり、２以外の素数であることに矛盾しない。\)


　以上のすべての場合の３通りで、 \( k \) が４で割ると３余る数であることは全くなかった。ということは、４であると３余る素数にはピタゴラス素数は含まれていないということである。

　※ 参照： 大学生のための数学 ＞ 数理論 ＞ フェルマーの二平方和定理

　というわけで、「ある数がピタゴラス素数ならば、その数は４で割ると１余る数である。」という命題が真であることは証明されました。しかし、「 ある素数が４で割ると１余る数ならば、その数はピタゴラス素数である。」という命題が真であることはここではまだ証明されていません。この命題は証明がされているそうですが、難しそうで私の手には負えなさそうです。