(1,0) と (0,1) と (−1,0) と (−1,−1) と (1,0) の隣同士を結んでできる正方形（ 赤色 ）を描く線分たちの方程式は次の４つです。
　　　　\( y=-x+1\ \ \left\{0\le x\le1\right\} \)　・・・ �@
　　　　\( y=x+1\ \ \left\{-1\le x\le0\right\} \)　・・・ �A
　　　　\( y=-x-1\ \ \left\{-1\le x\le0\right\} \)　・・・ �B
　　　　\( y=x-1\ \ \left\{0\le x\le1\right\} \)　・・・ �C

　�@ と �A は、まとめて次のように書くことができます。
　　　　\( y=-\left|x\right|+1\ \ \left\{-1\le x\le1\right\} \)　・・・ �D
　�B と �C は、まとめて次のように書くことができます。
　　　　\( y=\left|x\right|-1\ \ \left\{-1\le x\le1\right\} \)　・・・ �E
　�D と �E は、まとめて次のように書くことができます。
　　　　\( \left|y\right|=-\left|x\right|+1\ \ \left\{-1\le x\le1\right\} \)　・・・ �F
　�F より 次の式が成り立ちます。
　　　　\( \color{Red}\left|x\right|+\left|y\right|=1 \)　・・・ �G
　�G が (1,0) と (0,1) と (−1,0) と (0,−1) と (1,0) の隣同士を結んでできる正方形を描く方程式になります。

　この図形（ 赤色 ）を \( \sqrt{\ 2\ }\ \)倍にしてから反時計回りに 45°回転させると、(1,1) と (−1,1) と (−1,−1) と (1,−1) と (1,1) の隣同士を結んでできる正方形（ 紫色 ）になります。
　そうするために、�G の \(x\) に \( \frac{1}{\ \sqrt{2}\ } \left(\ x\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \)　を　\(y\) に \( \frac{1}{\ \sqrt{2}\ } \left(-x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \)　を代入して、
　　　\( \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\right|+\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\right|=1 \)
　よって、
　　　　\( \color{Purple}\large\left|\ x+y\ \right|+\left|-x+y\ \right|=2 \)
　これが、(1,1) と (−1,1) と (−1,−1) と (1,−1) と (1,1) の隣同士を結んでできる一辺の長さが２の正方形を描く方程式です。

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\left|x\right|+\left|y\right|=1 \left|x+y\right|+\left|-x+y\right|=2 \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\right|+\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\right|=1 y=-x+1\ \ \left\{0\le x\le1\right\} y=x+1\ \ \left\{-1\le x\le0\right\} y=-x-1\ \ \left\{-1\le x\le0\right\} y=x-1\ \ \left\{0\le x\le1\right\} y=-\left|x\right|+1\ \ \left\{-1\le x\le1\right\} y=\left|x\right|-1\ \ \left\{-1\le x\le1\right\} \left|y\right|=-\left|x\right|+1\ \ \left\{-1\le x\le1\right\}