これから、 次の命題が成り立っていることを証明したいと思います。

　 もし、 質量 の質点に 　で表される力が作用し続けるならば、 その質点の移動は、 周期 の単振動になる。

そのためには、 　から、 次の式を導き出せばいいのです。
　　　　

まず、 運動方程式を立てます。 次のようになります。
　　　　
これから、 この２階微分方程式を解いていきます。

まず、 と置きます。 すると次のようになります。
　　　　
以上より、 は の解であることが解りました。

次に、 と置きます。 すると次のようになります。
　　　　
以上より、 は の解であることが解りました。

したがって、 の解は、 一般に次の式で表されます。
　　　　

　 ここで、 とおきます。 そして、 で作られる直角三角形の 辺 と 辺 とがなす角を とします。 すると、 の一般解は、 次のように表されます。
　　　　
以上で証明を終わります。


上記の式より、角振動数 は次のように表されることがわかります。
　　　　
したがって、 の式は次のように表すことができます。
　　　　
この式のことを 「 単振動の２階微分方程式 」 と私は言っています。

水平バネ運動は以上の運動原理に従います。
x は、バネが自然長のときの重りの位置から重りがバネが伸展する方向へどれだけ離れているのかを表します。
バネ運動のとき k は、バネ定数と言われます。



【 問 題 】

　 アバウトな言い方をして申し訳ありませんが、 重りの質量が で、 紐がかなり長い で、 振幅がかなり小さい 単振り子 は、 重りの最下点から右向への変位角を正の数 とすると、 重りに働く軌道の接線方向の力 は次のように表されます。
　　　　
このことより、 この単振り子は単振動をすることを証明しなさい。

【 解 答 】

静止座標系における接法ベクトル表示による重りの加速度は次のようになります。
　　　　

ここで、 次の式たちが成り立ちます。
　　　　
　　　　

　 したがって、 静止座標系における接法ベクトル表示による重りの加速度は次のようになります。
　　　　

したがって、 接線方向については、 次の式が成り立ちます。
　　　　

　 この式は、 の場合の 「 単振動の２階微分方程式 」 ですから、 この単振り子は単振動することが解ります。 ちなみに、 周期は次のようになります。