【 問 題 】

　点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を通る直線は無数にあるが、その中から１本の直線を無作為に選んだとき、その直線の原点からの距離が１以下である確率を求めよ。

【 解 答 】

　座標系の原点を通る直線のうち、第１象限と第３象限に現れる直線は全体の半分で、第２象限と第４象限に現れる直線は全体の半分です。原点を通る第１象限と第３象限に現れる直線を \(x\) 軸方向に \(\sqrt{\ 2\ }\ \) 平行移動させてから点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を中心に 45度反時計回りに回転すると必ず原点からの距離が１以上になります。また、原点を通る第２象限と第４象限に現れる直線を \(x\) 軸方向に \(\sqrt{\ 2\ }\ \) 平行移動させてから点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を中心に 45度反時計回りに回転すると必ず原点からの距離が１以下になります。原点を通る直線を \(x\) 軸方向に \(\sqrt{\ 2\ }\ \) 平行移動させると必ず点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を通る直線になります。ということは、点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を通るという条件下で任意に１つの直線を選んだとき、50% は原点からの距離が１以下であるということになります。

　　

【 別 解 】

　点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を通る直線の傾きは −90度 〜 90度 のうちのどれかです。そのうち、−45度 〜 45度のときは直線の原点からの距離が１以下であり、それ以外のときは直線の原点からの距離が１以上です。ということは、点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を通るという条件下で任意に１つの直線を選んだとき、50% は原点からの距離が１以下であるということになります。

【 誤 解 】

　点 \( \left( \sqrt{2},\ 0\ \right) \) を通る直線は \( \ y=ax-a\sqrt{2}\ \) という式で表されます。\(a\) の値のうち \( -1\ \le\ a\ \le\ 1\ \) のときのみ直線の原点からの距離が１以下になります。\( -\infty\ \le\ a\ \le\ \infty\ \) まで自由に選べる \(a\) の値のうち \( -1\ \le\ a\ \le\ 1\ \) のときのみしか直線の原点からの距離が１以下にならないので、直線の原点からの距離が１以下になる確率は 0% です。