中点連結定理
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2026.02.12___
【 証 明 】
辺ＡＢの中点をＭ、 辺ＡＣの中点をＮ とする。
線分ＭＮを辺ＡＣを越えて２倍の長さまで伸ばしその端点をＤとする。
□ＡＭＣＤは、 ２つの対角線が互いに中点で交わっているので、 平行四辺形である。
よって、 ＡＭとＤＣは互いに平行で長さが等しい。
よって、 ＭＢとＤＣは互いに平行で長さが等しい。
よって、 □ＭＢＣＤは平行四辺形である。
よって、 ＭＤとＢＣは互いに平行で長さが等しい。
よって、 ＭＮはＢＣに平行で長さはその半分である。
【 問 題 】
任意に四角形ＡＢＣＤ を作ってください。
隣合う辺の中点どうしを結ぶと四角形ＡＢＣＤ の中に新たな四角形ができます。
それを四角形ａｂｃｄとします。
四角形ａｂｃｄ は平行四辺形であることを証明してください。
【 解 答 】
補助線を２本引きます。
中点連結定理より、
三角形ＡＢＣにおいて、ｄａ は ＡＣ に平行で長さが半分。
三角形ＡＣＤにおいて、ｃｂ は ＡＣ に平行で長さが半分。
したがって、ｄａ と ｃｂ は平行です。
中点連結定理より、
三角形ＡＢＤにおいて、ｄｃ は ＢＤ に平行で長さが半分。
三角形ＤＢＣにおいて、ａｂ は ＢＤ に平行で長さが半分。
したがって、ｄｃ と ａｂ は平行です。
四角形ａｂｃｄ は向かい合う辺どうしが平行だから、平行四辺形です。