完全弾性衝突では、運動量保存法則が成り立つのはもちろんですが、力学的エネルギー保存の法則も成立します。
　外力が仕事をしない場合は、力学的エネルギー保存の法則が成立します。


【 問 題 １ 】

　立方体をした物質Ａと物質Ｂがあり、前者の質量は後者の２倍ある。摩擦の生じない滑らかな水平な面の上に物質Ａが静止しており、そこへ物質Ｂが速さ V₀ m/s の等速で滑って来て正面衝突した。この衝突は完全弾性衝突であり、変形もせず音もせずに物質Ｂは跳ね返えされた。そのときの両者の速さを求めよ。

【 解 答 】

求める物質Ａの速さを V_a m/s、物質Ｂの速さを V_b m/s、物質Ｂの質量を m kg とする。
運動量保存の法則より、
　　　m V₀ ＝ 2m V_a − m V_b
　　　よって、　V_b ＝ 2V_a − V₀　　・・・ �@
力学的エネルギー保存の法則より、
　　　1/2 m V₀² ＝ 1/2(2m)V_a² ＋1/2 m V_b²
　　　よって、　V₀² ＝ 2V_a² ＋ V_b²　　・・・ �A
�@ → �A より、
　　　V₀² ＝ 2V_a² ＋ 4V_a² − 4V_aV₀ ＋ V₀ ²
　　　よって、　V_a ( 3V_a − 2V₀ ) ＝ 0
　　　よって、　V_a ＝ 2/3 V₀ m/s
　　　よって、　V_b ＝ 1/3 V₀ m/s

【 問 題 ２ 】

　立方体をした物質Ａと物質Ｂがあり、前者の質量は後者の２倍である。これらを摩擦の生じない滑らかな水平な面の上に置き、バネ定数 k N/m のバネで繋いで押し付けて長さ d m だけ縮ませてから静かに手を離した。バネが自然長に戻ったときの両者の速さを求めよ。ただし、物質Ｂの質量を m kg とする。

【 解 答 】

求める物質Ａの速さを V_a m/s、物質Ｂの速さを V_b m/s とする。
運動量保存の法則より、
　　　2m V_a ＝ m V_b　　・・・ �@
力学的エネルギー保存の法則より、
　　　1/2 kd² ＝ 1/2 2m V_a² ＋ 1/2 m V_b²　　・・・ �A
�@ → �A より、
　　　kd² ＝ 2m V_a² ＋ m (2V_a)²
したがって、
　　　V_a ＝ d ルート ( k / 6m )　m/s
　　　V_b ＝ 2d ルート ( k / 6m )　m/s