（１） ユークリッド幾何学の方法論

　定義　・ ・ ・　イメージの共有化

　　　　　点　　線　　面　　距離　　角度　　円　　平行　　命題　　公理　　定理　　　など

　　　　　　　　例： ２点間の距離は次のように定義されます。
　　　　　　　　　　　　　


　公理　・ ・ ・　証明なしで明らかな真の命題

　　　　　＜ ユークリッドの５つの公理の私風な表現 ＞
　　　　　　　　　　２点を通る直線は、 １つある。
　　　　　　　　　　線分は、 ある直線の部分だ。
　　　　　　　　　　点は、 無数の円の中心だ。
　　　　　　　　　　直角は、 普遍だ。
　　　　　　　　　　直線外の点を通り、 かつ、 この直線に平行な直線は、 １つある。


　定理　・ ・ ・　証明によって裏付けられる真の命題

　　　　　例 ：　三角形の内角の和は180度である。

（２） 内側から理解する

　 １次元線型生物 （ 架空の生物 ） は、 ある線上を伸び縮みしたり、 あるいは、 移動したりできます。 この生物は、 この線が曲線であっても、 直線であるとしか体感できません。
　 ２次元面型生物 （ 架空の生物 ） は、 ある平面上を伸び縮みしたり、 あるいは、 移動したりできます。 この生物は、 この面が曲面であっても、 平面であるとしか体感できません。
　 でも、 これらの生物が知識を持つと、 自分の住んでいる世界は、 もう１つだけ次元の高い世界であり、 本当は、 曲線であり、 曲面である、 ということを理解するようになるのです。 早い話、 同じ方向へ移動を続けた結果、 スタート地点に戻ったとすれば、 その生物たちは、 そのことを理解するでしょう。
　 また、 ２次元面型生物が、 生物に対して巨大な球面上 （ 球面の外側とは限らない ） に住んでいるとしたときに、 平行な２つの直線が遠方で交わったりするのを発見したり、 三角形の内角の和が180度よりも大きいまたは小さいことを知ったりしたら、 自分の住んでいる世界は曲面であるということを理解します。
　 このように、 ｎ次元に住んでいる生物が自分の体感できる世界の１次元上の世界を認識することを、「（ ｎ＋１ ）次元を内側から理解する。」 と言います。
　 ３次元立体型生物であるヒトは、 アインシュタインの一般相対性理論により 「 ４次元空間を内側から理解 」 しました。 なお、 アインシュタインの特殊相対性理論は、 「 ４次元時空間を内側から理解 」 したものです。

追伸 ：
　 近代科学が発達する前の人類は、 地球規模のオーダーでは２次元平面型生物でした。 そこで、 自分たちの住んでいる地球が平面ではなくて球であることを内側から理解し、 それを証明するために、 ひたすら西に向かう航海にチャレンジしたのです。 そのような努力の結果、 ３次元立体型生物であるヒトは、 地球規模のオーダーでも、 ヒトは３次元立体型生物であることを外側から理解したのです。

（３） ユークリッド３次元空間 と 非ユークリッド３次元空間

　 直線は１次元で、 平面は２次元ですが、 曲線は２次元で、 曲面は３次元です。 曲線は歪んだ直線であり、 曲面は歪んだ平面です。

　　　　　コメント：
　　　　　　　数学では、 曲線は１次元で、 曲面は２次元です。
　　　　　　　曲線上の１点の位置を表すには変数が１個あればよく、
　　　　　　　曲面上の１点の位置を表すには変数が２個あればいいからです。

　 曲線の曲率は２次元的であり、 曲面の曲率は３次元的です。 曲線の曲率は、 曲線の微小局所的部分は正円の円周の一部であるとみなされ、 その円の半径の逆数で表されます。 曲率が大きいほど、 曲線のその部分における曲がりの程度は大きいのです。 これを応用して、「 曲面の曲率は、 局面の微小局所的部分は正球体の球面の一部であるとみなされ、 その球の半径の逆数で表される。」と思いたいのですが、 そうではありません。 曲面の曲率は、「 曲面上の１点Ｐの法線を含む任意の平面 」と「 その曲面 」とが交わる曲線 の 「 点Ｐにおける曲線の曲率 」 の、 最大値と最小値の平均値、 または、 最大値と最小値とをかけたもの で表されます。 前者を「 平均曲率 」と言い、 後者を「 ガウス曲率 」と言います。

　 これらは、 「 ２次元世界に住む観察者の ２次元的な 曲線の曲率 」 であり、 「 ３次元世界に住む観察者の ３次元的な 曲面の曲率 」 であり、 「 外側から見る曲率 」 です。 これに対して、「 １次元世界に住む観察者の ２次元的な 曲線の曲率 」や「 ２次元世界に住む観察者の ３次元的な 曲面の曲率 」という、「 内側から見る曲率 」があります。 それは、「 計量テンソル 」です。「 計量テンソル 」は２点間の距離に関係します。
　 例えば、 ３次元的な曲面の曲率を表現する、 ２次元の計量テンソル　　を用いると、
　 ベクトル の大きさは次のように表されます。
　　　　
　　　　
　 　のとき、 ユークリッド空間です。 ここからの歪の大きさで、 曲面の曲がり具合が解ります。


　 北半球において、 緯度が同じで経度が180度異なる場所への、 地上または海上を通る最短コースは、 真東あるいは真西ではなく、 それよりも緯度の高いコースになることは、 地球儀があれば一目瞭然です。 地球上は曲面ですから、 ２次元的な計量テンソルは上記のようなユークリッド空間の時とは異なります。 さらに、 私たちは、 ３次元的な計量テンソルを利用することによって、 曲がっていないと思っていた３次元空間が歪んでいたんだということを知ることができます。 歪んだ空間は４次元空間です。 これは、 相対性理論の４次元時空間とは異なります。 現在の相対性理論では時間も歪んでいますので、 本当は４次元空間と２次元時間からなる６次元時空間なのかもしれません。


　 さて、「 計量テンソル 」が等しくても、 同じ曲面の凸側と凹側では、 空間は異なります。 ガウスの「 空間歪曲率 」という概念の導入によって、 空間歪曲率がゼロの空間が「 ユークリッド空間 」で、 空間歪曲率がプラスの値をとるものが「 リーマン空間 」で、 空間歪曲率がマイナスの値をとるものが「 ロバチェフスキー空間 」であると定義されました。 というと、 球の外面のイメージが「 リーマン空間 」で、 球の内面のイメージが「 ロバチェフスキー空間 」であると思われるかもしれませんが、 実は、 外面も内面も同一の面ですので、 ２つとも「 リーマン空間 」であり、「 ロバチェフスキー空間 」のイメージは、 裏返しても同じような形をしている山と谷が合体した「 馬の鞍 」です。「 ３角形の内角の和が180度である 」平面は「 ユークリッド２次元直空間 」 と言われ、 「 ３角形の内角の和が180度より大きい 」 曲面は 「 リーマン２次元曲空間 」と言われ、「３角形の内角の和が180度より小さい 」曲面は「 ロバチェフスキー２次元曲空間 」と言われています。 しかし、 私は、 曲面は２次元ではなく３次元であると思いますので、「 リーマン３次元曲面空間 」とか「 ロバチェフスキー３次元曲面空間 」とか言うべきであり、 立体的な３次元空間が歪んでいる場合は、「 リーマン４次元曲体空間 」とか「 ロバチェフスキー４次元曲体空間 」と言うべきではないかと思います。 でも、「 内側から見た曲体 」ですから、「 一般相対性性理論とは、 時空を 『 リーマン３次元曲体空間 』と『 １次元時間 』からなる『 擬リーマン４次元時空間 』として扱う、 加速度 と 一様な重力場 の理論である。」という言い方でいいのかもしれません。