（１）問題提起

二元数（ 複素数 ）と 四元数はあるのに、なぜ三元数（ x₀ ＋ x₁ i ＋ x₂ j ）はなぜ存在しないのだろうか？

（２）三元数（ 架空 ）

i ² ＝ j ² ＝ −1
i j ＝ a ＋ b i ＋ c j　　　※ ただし、a も b も c も 実数

両辺に i をかけると、
　　i × i j ＝ a i ＋ b i ² ＋ c i j
よって、
　　−j ＝ a i − b ＋ c i j
よって、
　　−j ＝ a i − b ＋ c ( a ＋ b i ＋ c j )
よって、
　　0 ＝ ( ac−b ) ＋ ( a＋bc ) i ＋ ( c ²＋1 ) j
よって、
　　ac−b ＝ 0　　かつ　　a＋bc ＝ 0　　かつ　　c ²＋1 ＝ 0
ここで、
　　c は実数だから、c ²＋1 ＝ 0　はあり得ない。矛盾に陥ってしまった。

つまり、三元数は乗法について閉じていないのである。これでは数として認められないのである。

（３）四元数

i ² ＝ j ² ＝ k ² ＝ −1
i j ＝ k　　・・・ �@
j k ＝ i　　・・・ �A
k i ＝ j　　・・・ �B

�@ の両辺に i をかけると、
　　i × i j ＝ i × k
よって、
　　−j ＝ i k
よって、
　　i k ＝ −j　　・・・ �B’

�A の両辺に j をかけると、
　　j × j k ＝ j × i
よって、
　　−k ＝ j i
よって、
　　j i ＝ −k　　・・・ �@’

�B の両辺に k をかけると、
　　k × k i ＝ k × j
よって、
　　−i ＝ k j
よって、
　　k j ＝ −i　　・・・ �A’

（４）四元数のイメージ

　４次元時空間座標系と比較してみると、四元数の実部が時間軸に相当し、四元数の虚数 i 軸部 が 空間 x 軸 に相当し、四元数の虚数 j 軸部 が 空間 y 軸 に相当し、四元数の虚数 k 軸部 が 空間 z 軸 に相当する。

　四元数の３次元虚数部分（ i 軸 と j 軸 と k 軸 ）については、乗法はベクトルの外積に相当する。二元数（ 複素数 ）の乗法が 実部 i 軸部平面におけるベクトルの回転でイメージされるように、四元数の乗法は、３次元虚数部分の２軸成分が 0 の場合には、実部 i 軸部平面におけるベクトルの回転 または 実部 j 軸部平面におけるベクトルの回転 または 実部 k 軸部平面におけるベクトルの回転 のイメージである。しかし、そうでないときには、ベクトルの外積の合成のイメージとなる。

　※ 参考： 線形代数学 ＞ 二元数から四元数へ（ ベクトルの起源 ）