３次方程式：　a x³ ＋ b x² ＋ c x ＋ d ＝ 0　　・・・ �@

�@ の解を α と β と γ と置くと、次の式が成り立つ。
　　( x − α ) ( x − β ) ( x − γ ) ＝ 0　　・・・ �A
よって、
　　x³ − ( α ＋ β ＋ γ ) x² ＋ ( α β ＋ β γ ＋ γ α ) x − α β γ ＝ 0　　・・・ �B

�@ と �B を比べると次の式が成り立つ。
　　b ＝ −a ( α ＋ β ＋ γ )　　・・・ �C
　　c ＝ a ( α β ＋ β γ ＋ γ α )　　・・・ �D
　　d ＝ −a α β γ　　・・・ �E



【 問 題 】

３次方程式：　x³ − 5 x² − 26 x ＋ 120 ＝ 0　　・・・ �F

�F の解を α と β と γ と置くとき、次の式の値を求めよ。
　　(1)　α² ＋ β² ＋ γ²
　　(2)　α³ ＋ β³ ＋ γ³

【 解 答 】

α ＋ β ＋ γ ＝ 5
α β ＋ β γ ＋ γ α ＝ −26
α β γ ＝ −120

(1)　α² ＋ β² ＋ γ² ＝　( α ＋ β ＋ γ )² − 2 ( α β ＋ β γ ＋ γ α )
　　　　　　　　　＝→ 　25 ＋ 52　＝→　77

(2)　α³ ＋ β³ ＋ γ³ ＝→ 　( 5 α² ＋ 26 α − 120 ) ＋ ( 5 β² ＋ 26 β − 120 )
　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ ( 5 γ² ＋ 26 γ − 120 )
　　　　　　　　　＝→　5 ( α² ＋ β² ＋ γ² ) ＋ 26 ( α ＋ β ＋ γ ) − 360
　　　　　　　　　＝→　385 ＋ 130 − 360　＝→　155

【 確かめ 】

�F の解は、x ＝ 4，−5，6 である。
　　4³ − 5・4² − 26・4 ＋ 120　＝→　64 − 80 − 104 ＋ 120　＝→　0
　　(−5)³ − 5・(−5)² − 26・(−5) ＋ 120　＝→　−125 − 125 ＋ 130 ＋ 120　＝→　0
　　6³ − 5・6² − 26・6 ＋ 120　＝→　216 − 180 − 156 ＋ 120　＝→　0
　　4＋(−5)＋6 ＝→ 5
　　4・(−5)＋(−5)・6＋6・4 ＝→ −26
　　4・(−5)・6 ＝→ −120
　　4²＋(−5)²＋6² ＝→ 16＋25＋36 ＝→ 77
　　4³＋(−5)³＋6³ ＝→ 64−125＋216 ＝→ 155