【 問 題 １ 】

全体集合を０以上の整数とする。
n がどんな数でも　n³ − ７n ＋ ９　は ３ の倍数であることを示せ。

【 解 答 】

n³ − ７n ＋ ９
　　　＝→　 n （ n² − １ ） − ６n ＋ ９
　　　＝→　（ n − １ ） n （ n ＋ １ ） ＋ ３ （ −２n ＋ ３ ）

（ n − １ ） n （ n ＋ １ ）　は３つの連続する０以上の整数の積なので、 ６ の倍数である。
したがって、　n³ − ７n ＋ ９　は ３ の倍数である。

【 問 題 ２ 】

どんな整数 n に対しても　n³−4n　は３の倍数になることを証明せよ。

【 解 答 】

k を整数とする。

n ＝ 3k のとき、
　　n³−4n ＝ 27k³ − 12k　＝→　3 × ( 9k³−4k )
　　9k³−4k は整数だから、n³−4n は３の倍数である。

n ＝ 3k＋1 のとき、
　　n³−4n ＝ (3k＋1)(9k²＋6k＋1) − 4(3k＋1)
　　　　　 ＝→　27k³＋18k²＋3k＋9k²＋6k＋1−12k−4
　　　　　 ＝→　27k³＋27k²−3k−3
　　　　　 ＝→　3 × ( 9k³＋9k²−k−1 )
　　9k³＋9k²−k−1 は整数だから、n³−4n は３の倍数である。

n ＝ 3k−1 のとき、
　　n³−4n ＝ (3k−1)(9k²−6k＋1) − 4(3k−1)
　　　　　 ＝→　27k³−18k²＋3k−9k²＋6k−1−12k＋4
　　　　　 ＝→　27k³−27k²−3k＋3
　　　　　 ＝→　3 × ( 9k³−9k²−k＋1 )
　　9k³−9k²−k＋1 は整数だから、n³−4n は３の倍数である。

【 別 解 】

mod 3 で考えると、n³−4n　は　n³−n　と等しい。
n³−n　＝→　n (n²−1)　＝→　(n−1) n (n＋1)
(n−1) n (n＋1) は３つの連続する整数だから、３の倍数である。
よって、 n³−n は３の倍数である。
よって、 n³−4n は３の倍数である。