どの内角も120度未満の三角形ＡＢＣ があります。 ＡＢ を底辺とする正三角形の頂点をＡ'とします。 三角形の中に点Ｐを取ります。 点Ｐからそれぞれの頂点への距離の合計が最短になるとき、 点Ｐは線分Ａ'Ｃ 上に存在します。

その証明は、 次の図になります。
　　　　　

　 ＰＢ を底辺とする正三角形の頂点をＰ'とします。 三角形Ａ'ＢＰ' は、 三角形ＡＢＰ を点Ｂを中心に反時計回りに60度回転したものです。 折れ線分ＣＰＰ'Ａ' の長さが点Ｐからそれぞれの頂点への距離の合計になっています。 点Ｐを線分Ａ'Ｃ 上を少し点Ｃ側に移動させて、 折れ線分ＣＰＰ'Ａ' が線分Ａ'Ｃ になるようにすれば、 その長さが最短になります。じゃあ、どこまで移動させればいいのか？ それは次の図を見れば分かります。 点Ａ'' はＡＣ を底辺とする正三角形の頂点です。
　　　　　

　このとき、 ∠ＢＰＣ　＝　∠ＡＰＣ　＝　∠ＡＰＢ　＝　120度　になっています。
この点Ｐ をフェルマー点と言います。

　では、どうしてフェルマー点と三角形の３つの頂点とを結ぶ線分は120度ずつで交わるのでしょうか？

　三角形ＡＢＣ の中に次の条件を満たす点Ｑ を取ります。
　　　∠ＢＱＣ　＝　∠ＡＱＣ　＝　∠ＡＱＢ　＝　120度
　四角形ＡＡ'ＢＱ と 四角形ＡＡ''ＣＱ は対角の和が180度ですから、円に内接する四角形です。そこで２つの外接円を描きます。

　　　　　

円周角の定理より、
　　　∠Ａ'ＢＡ　＝　Ａ'ＱＡ　＝　60度
∠Ａ'ＱＣ　＝　∠Ａ'ＱＡ ＋ ∠ＡＱＣ　＝　60度 ＋ 120度　＝→　180度
ということは、点Ｑは線分Ａ'Ｃ 上にあるということです。
同様にして、点Ｑは線分Ａ''Ｂ 上にあることも証明できます。
ということは、点Ｑは点Ｐと同一であるということです。

　 ３つの半直線の端点をそれぞれの角度が120度になるようにして点Ｐ で重ねます。 それぞれの半直線上に任意に点Ａ、 点Ｂ、 点Ｃ をとり、 それらを結んで三角形を作ります。 すると、 点Ｐ は三角形の中にあって を最短にする点になっています。 点Ｐ は発見者にちなんでフェルマー点と言われますが、 そうなる理由を証明します。

　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 を 点Ｂ を中心にして反時計回りに６０° 回転させたのが、 です。
　 ですから、 です。
　 なので、 は一直線上にあります。
　 また、 の位置は点Ｐ の位置に関係なく決まりますので、 点Ｐ の位置に関係なく の長さは一定です。
　 が最短になるのは、 が線分 上にあるときです。
　 が線分 上に存在するためには、 でなければなりません。 したがって、 図の場合が が最短になっていることが解ります。