数理論 へ戻る【 問 題 １ 】
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全体集合を複素数（ 二元数 ）とする。 x2 ＋ 1 ＝ 0 を解け。
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答え： x ＝ ± i
正確な解法は、 x ＝ a ＋ b i ( a と b は 実数 ) と置いて、 ( a2 − ｂ2 ＋ 1 ) ＋ 2ab i ＝ 0 を解く。
上式が成り立つための必要十分条件は、 a2 − ｂ2 ＋ 1 ＝ 0 かつ 2ab ＝ 0
b＝0 のとき、 a2＝−1 となって、これを満たす実数 a は存在しない。
a＝0 のとき、 b＝±1
よって、 x ＝ ± i
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全体集合を四元数とする。 x2 ＋ 1 ＝ 0 を解け。
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x ＝ a ＋ b i ＋ c j ＋ d k ( a と b と c と d は 実数 ) と置くと、
( a ＋ b i ＋ c j ＋ d k ) × ( a ＋ b i ＋ c j ＋ d k ) ＋ 1 ＝ 0
※ i2 ＝ j2 ＝ k2 ＝ −1
i j ＝ k ＝ −j i
j k ＝ i ＝ −k j
k i ＝ j ＝ −i k
よって、
a2 ＋ abi ＋ acj ＋ adk ＋ abi − b2 ＋ bck − bdj ＋ acj − bck − c2 ＋ cdi ＋ adk ＋ bdj − cdi − d2 ＋ 1 ＝ 0
つまり、
( a2 − b2 − c2 − d2 ＋ 1 ) ＋ 2abi ＋ 2acj ＋ 2adk ＝ 0
上式が成り立つための必要十分条件は、
a2 − b2 − c2 − d2 ＋ 1 ＝ 0 かつ 2ab ＝ 0 かつ 2ac ＝ 0 かつ 2ad ＝ 0
a≠0 のとき、a2＝−1 となって、これを満たす実数 a は存在しない。
a＝0 のとき、 b2 ＋ c2 ＋ d2 ＝ 1
この条件を満たす b と c と d の組み合わせならば OK ということで、答えは次のようになる。
b i ＋ c j ＋ d k ( ただし、 b2 ＋ c2 ＋ d2 ＝ 1 )
b2 ＋ c2 ＋ d2 ＝ 1 は球の方程式であり、これを満たす b と c と d の組み合わせは無数に存在する。