【 問 題 】

すべての自然数について、下１桁の数はその自然数の５乗の下１桁の数に等しいことを証明せよ。
たとえば、12⁵ ＝→ 248832 で、 12 も 248832 も 下１桁の数は 同じ 2 である。

【 解 答 】

整数の下１桁とはその整数を 10 で割った余りのことである。したがって、この問題は次のように書き直すことができる。
　　「 整数 n について、10 を法とすると n⁵ と n が等しいことを証明せよ。」
これを証明する。
全体集合を自然数とする。

n⁵−n　＝→　n(n⁴−1)　＝→　n(n²−1)(n²＋1)　＝→　(n−1)n(n＋1)(n²＋1)

(n−1)n(n＋1) は３つの連続する自然数だから、2 の倍数でもあり 3 の倍数でもある。
よって、n⁵−n は 2 の倍数である。 ・・・ �@

n ＝ 5m のとき
　　(n−1)n(n＋1) ＝→ (5m−1)5m(5m＋1)　だから (n−1)n(n＋1) は 5 の倍数である。
　　よって、n⁵−n は 5 の倍数である。
n ＝ 5ｍ＋1 のとき
　　(n−1)n(n＋1) ＝→ 5ｍ(5m＋1)(5m＋2)　だから (n−1)n(n＋1) は 5 の倍数である。
　　よって、n⁵−n は 5 の倍数である。
n ＝ 5ｍ＋2 のとき
　　(n²＋1) ＝→ 5(5m²＋4m＋1)　だから (n²＋1) は 5 の倍数である。
　　よって、n⁵−n は 5 の倍数である。
n ＝ 5ｍ＋3 のとき
　　(n²＋1) ＝→ 5(5m²＋6m＋2)　だから (n²＋1)は 5 の倍数である。
　　よって、n⁵−n は 5 の倍数である。
n ＝ 5ｍ＋4 のとき
　　(n−1)n(n＋1) ＝→ 5(5m＋3)(5m＋4)(5m＋4)　だから (n−1)n(n＋1) は 5 の倍数である。
　　よって、n⁵−n は 5 の倍数である。
以上より、すべての自然数について n⁵−n は 5 の倍数である。 ・・・ �A

�@ と �A より、n⁵−n は 10 の倍数である。
したがって、10 を法とすると n⁵ と n は等しい。