複素平面へ変換して考える 数理論 へ戻る
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2019.06.30____

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　【 問 題 １ 】

　 頂点の座標が次のように表される正７角形の重心は原点にあることを証明せよ。
　　　　　

　【 解 答 】

　 重心を起点とし正多角形の各頂点を終点とするベクトルの総和は０ベクトルになる。
　 したがって、 原点を始点とする正７角形の各頂点へのベクトルの総和が０になれば、
原点が正７角形の重心であると言うことができる。

　 この問題を解きやすくするために、 複素平面に移行する。
つまり、 y 軸を虚数に、 x 軸を実数に。

そして、 問題を次のように書き換える。
　　　　

その解答は次のようなものである。
　　　　
　　　　

　【 問 題 ２ 】

　２次元 x y 平面の原点から点Ｐ₁ ( 1，0 ) まで直進し、点Ｐ₁ を中心に反時計回りに 45度 回転して今さっき進んだ距離の の距離を直進して至る点を点Ｐ₂ とする。続いて、点Ｐ₂ を中心に反時計回りに 45度 回転して今さっき進んだ距離の の距離を直進して至る点を点Ｐ₃ とする。続いて、点Ｐ₃ を中心に反時計回りに 45度 回転して今さっき進んだ距離の の距離を直進して至る点を点Ｐ₄ とする。続いて、・・・・ というように進んで至る点Ｐ₁₀ の座標を求めよ。

　【 解 答 】

複素平面に変換し、そこでの複素ベクトルの合成を考える。
　　　
　この式は、初項 　公比 　の 等比数列 の 10項 までの総和だから、次の式に等しい。
　　　
ここで、次の３つの式が成り立っているので、
　　　
　　　
　　　
上式は次のようになる。
　　　
　　　
　　　

というわけで、 答えは　( 33/32，31/32 )　となる。