【 問 題 】

一辺の長さが 1 の正方形がある。点P は辺CD上を自由に移動し、点Q は辺BC上を自由に移動する。
今、∠QAP = 45° という条件を付けて、点P と 点Q を連動させた。

　　　　　　

　　（１）　DPの長さを x 、BQの長さを y として、y を x の式で表せ。
　　（２）　tan 22.5° の値を求めよ。

【 解 答 】

　（１）

PQ の長さを２通りの方法で表すことから始めます。
　　　まずはピタゴラスの定理より、
　　　　　　(PQ)² = (1−x) ² + (1−y) ² =→　x ² + y ² − 2(x+y) + 2

　　　△APD を点Aを中心に回転させて、辺AD を 辺AB に重ねる。すると、点P は 点P' に移動する。

　　　　　　

　　　　　　△AP'Q と △APQ は合同である。
　　　　　　したがって、 PQ = x+y

以上より、次の式が成り立ちます。
　　　(x+y)² = x ² + y ² − 2(x+y) + 2
よって、
　　　x ² + y ² + 2xy = x ² + y ² − 2(x+y) + 2
よって、
　　　2xy = −2(x+y) + 2
よって、
　　　y(1+x) = 1−x
よって、
　　　

　（２）

∠PAD = 22.5° のとき y = x だから
　　　
よって、
　　　
0 ≦ x ≦ 1　の範囲で上の式を解くと、
　　　
よって、