商品番号などを通し番号ではなく 11 の倍数のみとすると、 １ つだけ数字を間違えても他の商品と同じ番号にならず、 間違いに気づきやすくなり混乱を避けることができます。

　 １ つだけ数字を間違えても他の商品と同じ番号にならないということは、 11 の倍数の中の数字を １ つ書き換えると 11 の倍数でなくなるということです。

　 数の各位を １ つずつ飛ばして足し合わせ２つの数を作ったとき、 その差が 11 の倍数であればその数は 11 の倍数になっています。 たとえば abcdef という６桁の数においては、 a＋c＋e　と　f＋d＋b　との差が 11 の倍数であればその数は 11 の倍数であるということです。

　 そのことを証明してみましょう。
　　abcdef　＝　a × 10⁵ ＋ b × 10⁴ ＋ c × 10³ ＋ d × 10² ＋ e × 10 ＋ f
　　　　　　＝　a × 100001 ＋ b × 9999 ＋ c × 1001 ＋ d × 99 ＋ e × 11 ＋ ( f＋d＋b ) − ( a＋c＋e )
　　　　　　＝　11 × ( a × 9091 ＋ b × 909 ＋ c × 91 ＋ d × 9 ＋ e ) ＋ ( f＋d＋b ) − ( a＋c＋e )
したがって、 ( f＋d＋b ) − ( a＋c＋e )　が 11 の倍数ならば abcdef は 11 の倍数になります。

　 ６桁の 11 の倍数 abcdef の １ つの数字を書き換えたとき、 数の各位を １ つずつ飛ばして足し合わせ２つの数を作りその差をとると、 次のようになります。
　　　　( f＋d＋b ) − ( a＋c＋e ) − m　　　　( ただし −９ ＜ m ＜ ９ )

　 ( f＋d＋b ) − ( a＋c＋e )　は 11 の倍数であり、 m は 11 の倍数ではないので、 ６桁の 11 の倍数 abcdef の １ つの数字を書き換えた数は 11 の倍数ではありません。

　 この定理は２進数や３進数でも成立していますので、 下の枠内の数で試してみてください。