【 問 題 】

７ または ５ または ３ の数字を使ってできる４桁の自然数のうち ３の倍数はいくつあるか？

【 解 答 その１ 】

すべての位の数の和が３の倍数であれば、 その数は３の倍数である。
位の数に３はいくつあってもいいので、５と７を使って和が３の倍数になるようにする。
　　　位の数に５と７が無いとき ：　１通り 　（ 3333 ）
　　　位の数に５が３個あるとき ：　４通り　 （ 5553　5535　5355　3555 ）
　　　位の数に７が３個あるとき ：　４通り
　　　位の数に５と７が２個ずつあるとき ：　_４Ｃ_２ ＝ ６通り
　　　位の数に５と７が１個ずつあるとき ：　_４Ｃ_２×２ ＝ １２通り
以上を加えた ２７ が答えである。

【 解 答 その２ 】

１ の位が０の自然数を ｍ とし、１ の位の数が ３ または ５ または ７ である３つの自然数を考える。
　　　　ｍ＋３　　　　ｍ＋５　　　　ｍ＋７
もし、 ｍ が３の倍数ならば、 ３つのうち ｍ＋３ のみが３の倍数である。
もし、 ｍ が３で割ると１余る数ならば、 ３つのうち ｍ＋５ のみが３の倍数である。
もし、 ｍ が３で割ると２余る数ならば、 ３つのうち ｍ＋７ のみが３の倍数である。
よって、 ｍ がどんな自然数であっても ３つの数のうち１つだけが３の倍数になる。
３ または ５ または ７ を使ってできる ｍ はすべてで　３^３ ＝ ２７　ある。
したがって、 答えは ２７ になる。

【 解 説 】

　 解答その２ より、 「 ２ または ３ または ４ の数字を使ってできる４桁の自然数のうち ３の倍数はいくつあるか？」 という問題も答えは同じ ２７ になることが判る。

　 解答その２ より、 「 ５ または ６ または ７ の数字を使ってできる ｎ 桁の自然数のうち ３の倍数はいくつあるか？」 という問題の答えは ３ ^ｎ−１ になることが判る。