数理論 へ戻る【 問 題 １ 】
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ｎ 桁の自然数（ ０ を含む ） のうち ５の倍数はいくつあるか？
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１ の位の数の和が ０ または ５ であれば、 その数は５の倍数である。
ｎ ＝ １ のとき、 答えは ２つ である。
ｎ ≧ ２ のとき、
10 ｎ−１ の位の数は ０ 以外の９個の数のどれかである。
10 ｎ−１ の位の数 と １ の位の数 以外の位の数は 10個の数のどれかである。
したがって、 ９ × 10 ｎ−２ × ２ ＝→ 18 × 10 ｎ−２ が答えである。
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ｎ （ ｎ４ − １ ） が 30の倍数であることを証明せよ。 （ ｎ は自然数 ）
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ｎ（ ｎ４ − １ ） ＝→ （ ｎ−１ ）ｎ（ ｎ＋１ ）（ ｎ２ ＋ １ ）
連続する３つの整数は ６の倍数であるから、 ｎ （ ｎ４ − １ ） は ６の倍数である。
ｎ ＝ ５ｋ （ ｋ は自然数 ） のとき、
ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５の倍数である。
ｎ ＝ ５ｋ ＋ １ のとき、
（ ｎ−１ ） は ５の倍数だから、 ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５の倍数である。
ｎ ＝ ５ｋ ＋ ２ のとき、
（ ｎ２ ＋ １ ） ＝→ ５ ×（ ５ｋ２ ＋ ４ｋ ＋ １ ）で、 （ ｎ２ ＋ １ ） は ５の倍数だから、
ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５の倍数である。
ｎ ＝ ５ｋ ＋ ３ のとき、
（ ｎ２ ＋ １ ） ＝→ ５ ×（ ５ｋ２ ＋ ６ｋ ＋ ２ ）で、 （ ｎ２ ＋ １ ） は ５の倍数だから、
ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５の倍数である。
ｎ ＝ ５ｋ ＋ ４ のとき、
（ ｎ＋１ ） は５の倍数だから、 ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５の倍数である。
したがって、 ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５の倍数である。
したがって、 ｎ（ ｎ４ − １ ） は ５ × ６ の倍数である。
したがって、 ｎ（ ｎ４ − １ ） は 30 の倍数である。
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