オイラーによって発見された平方数の逆数の和の収束値（ バーゼル問題 ）
　　　　

これをフーリエ級数展開を用いて証明します。

　f (x) ＝ x²　( −π ≦ x ≦ π )　が x 軸の正や負の方向にずっと繋がっている曲線があります。この曲線は 周期 2π の周期関数ですから、フーリエ級数展開をすることができます。( 周期 T が 2π でない関数の場合は、2π / T で補正すればいい。) すると、次のようになります。
　　　
　　　　　　　ただし、
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　なぜなら、
　　　　　　　　　

　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　したがって、
　　　　
　　　　　　　
　　 x に π を代入して、
　　　　
　　　　よって、