問題 ：

　30以上の整数はすべて ６ x ＋７ y （ ただし、 x と y は ０以上の整数 ） の式で表すことができることを証明しなさい。

　答え ：

n を ５以上の整数とします。
６ x ＋７ y ＝ ６ n 　で表される場合について考えると、
　　　 x ＝ n 、 y ＝０　のときであり、 条件を満たしていることは明白です。
６ x ＋７ y ＝ ６ n ＋１　で表される場合について考えると、
　　　６（ x − n ）＋７ y ＝ １　ですから、
　　　　　　 x − n ＝ −１、 y ＝１　のときであり、 それは、
　　　　　　　　　 x ＝４、 y ＝１、 n ＝５
　　　　　　　　　 x ＝５、 y ＝１、 n ＝６
　　　　　　　　　 x ＝６、 y ＝１、 n ＝７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ と無限に存在します。
６ x ＋７ y ＝ ６ n ＋２　で表される場合について考えると、
　　　６（ x − n ）＋７ y ＝ ２　ですから、
　　　　　　 x − n ＝ −２、 y ＝２　のときであり、 それは、
　　　　　　　　　 x ＝３、 y ＝２、 n ＝５
　　　　　　　　　 x ＝４、 y ＝２、 n ＝６
　　　　　　　　　 x ＝５、 y ＝２、 n ＝７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ と無限に存在します。
６ x ＋７ y ＝ ６ n ＋３　で表される場合について考えると、
　　　６（ x − n ）＋７ y ＝ ３　ですから、
　　　　　　 x − n ＝ −３、 y ＝ ３　のときであり、 それは、
　　　　　　　　　 x ＝２、 y ＝ ３、 n ＝ ５
　　　　　　　　　 x ＝３、 y ＝ ３、 n ＝ ６
　　　　　　　　　 x ＝４、 y ＝ ３、 n ＝ ７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ と無限に存在します。
６ x ＋７ y ＝ ６ n ＋４　で表される場合について考えると、
　　　６（ x − n ）＋７ y ＝ ４　ですから、
　　　　　　 x − n ＝ −４、 y ＝ ４　のときであり、 それは、
　　　　　　　　　 x ＝１、 y ＝ ４、 n ＝５
　　　　　　　　　 x ＝２、 y ＝ ４、 n ＝ ６
　　　　　　　　　 x ＝３、 y ＝ ４、 n ＝ ７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ と無限に存在します。
６ x ＋７ y ＝ ６ n ＋５　で表される場合について考えると、
　　　６（ x − n ）＋７ y ＝ ５　ですから、
　　　　　　 x − n ＝ −５、 y ＝ ５　のときであり、 それは、
　　　　　　　　　 x ＝０、 y ＝ ５、 n ＝ ５
　　　　　　　　　 x ＝１、 y ＝ ５、 n ＝ ６
　　　　　　　　　 x ＝２、 y ＝ ５、 n ＝ ７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ と無限に存在します。

というわけで、30 以上の整数はすべて ６ x ＋７ y （ ただし、 x と y は ０以上の整数 ） の式で表されることが解りました。