（１） べき級数とは、無限母関数とは

　べき級数とは、第 n 項が　係数 × x ⁿ⁻¹　の形になっている数列の総和のことです。べき級数は、x を入力したときに、収束する場合は、収束値を出力する関数にもなります。
　母関数 ( 生成関数 ) とは、x を入力したときに、とある数列の第 n 項に x ⁿ⁻¹ をかけ、その総和をとったものを出力する関数です。要するに、係数は数列であるとの見解に立つ べき級数 のことであり、収束値を出力するものです。

（２） 単純な無限母関数の収束値 その１

無限数列： {　1　1　1　1　1　・・・・　}　の母関数は次のように表されます。
　　　
x ＝ 0.8　のとき、この母関数の収束値を求めてみましょう。
　
　　　
　　　
　　　したがって、　f (0.8) ＝ 5

（３） 単純な無限母関数の収束値 その２

x ＝ 0.8　のとき、次の母関数の収束値を求めてみましょう。
　　　
　
　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　 　　　　　
　　　
　　　したがって、　f (0.8) ＝ 1.6666…

一般的に、
a ＜ 1　かつ　x ＜ 1　として、次の母関数の収束値を求めてみましょう。
　　　

　
　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　


　※ 参照： 数理論 ＞ 等差数列 ・ 等比数列 の和

（４） 単純な無限母関数の微分

　無限数列： {　1　1　1　1　1　・・・・　}　の母関数は次のように表されます。
　　　f (x)　＝　1 ＋ x ＋ x² ＋ x³ ＋ x⁴ ＋ x⁵ ＋ x⁶ ＋ ・・・・

これから、次の式が成り立っていることを示します。
　　　　
　{ f (x) } ²　＝　1 ＋ 2x ＋ 3x² ＋ 4x³ ＋ 5x⁴ ＋ 6x⁵ ＋ ・・・・

したがって、
　　　　
ここで、（２）を思い出してください。すると、次の式が成り立っていることが分かります。
　　　

このことを利用して、次の無限数列の総和を求めてみましょう。
　　　
この数列を書き直すと、次のようになります。
　　　
これは、無限数列： {　1　1　1　1　1　・・・・　}　の母関数の微分、つまり、次に式
　　　
において、 x ＝ 0.5　のときを表しています。したがって、この無限数列の総和は、次のようにして求めることができます。