【 問 題 】

袋の中には 赤玉１個、黄玉２個、青玉３個 が入っています。
この中から n 個の玉を取り出すとき、玉の色の組み合わせの総数を C_n とします。
C₀ ＋ C₁ ＋ C₂ ＋ C₃ ＋ C₄ ＋ C₅ ＋ C₆　を求めてください。
なお、C₀ ＝ 1 としてください。

【 解 答 】

第０項から始まる数列　{　C₀　C₁　C₂　C₃　C₄　C₅　C₆　}　の母関数 f ( x ) は次のようになります。
　　　f ( x ) ＝ C₀ x⁰ ＋ C₁ x¹ ＋ C₂ x² ＋ C₃ x³ ＋ C₄ x⁴ ＋ C₅ x⁵ ＋ C₆ x⁶　　・・・ �@

f ( x ) は次のようにも表すことができます。
　　　f ( x ) ＝ ( x ⁰ ＋ x ¹ ) ( x ⁰ ＋ x ¹ ＋ x ² ) ( x ⁰ ＋ x ¹ ＋ x ² ＋ x ³ )　　・・・ �A
　　　　　※　x ⁿ は同じ色の玉が n 個選ばれることを意味しています。
　　　　　　 ( x ⁰ ＋ x ¹ ) は赤玉を表し、 ( x ⁰ ＋ x ¹ ＋ x ² ) は黄玉を表します。

�@ より、　f ( 1 ) ＝ C₀ ＋ C₁ ＋ C₂ ＋ C₃ ＋ C₄ ＋ C₅ ＋ C₆
�A より、　f ( 1 ) ＝ ( 1 ＋ 1 ) ( 1 ＋ 1 ＋ 1 ) ( 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 )　＝→　24

よって、 C₀ ＋ C₁ ＋ C₂ ＋ C₃ ＋ C₄ ＋ C₅ ＋ C₆　＝　24

ちなみに、
　　　f ( x ) ＝ ( x ⁰ ＋ x ¹ ) ( x ⁰ ＋ x ¹ ＋ x ² ) ( x ⁰ ＋ x ¹ ＋ x ² ＋ x ³ )
　　　 　　＝　1 x⁰ ＋ 3 x¹ ＋ 5 x² ＋ 6 x³ ＋ 5 x⁴ ＋ 3 x⁵ ＋ 1 x⁶

　　　　　たとえば、 C₃ ＝ 6 とおり
　　　　　　　　　　　　（ 赤１，黄１，青１ ），
　　　　　　　　　　　　（ 赤０，黄２，青１ ）， （ 赤０，黄１，青１ ），
　　　　　　　　　　　　（ 赤１，黄０，青２ ），
　　　　　　　　　　　　（ 赤１，黄２，青０ ），
　　　　　　　　　　　　（ 赤０，黄０，青５ ）