二項定理の母関数解釈
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2025.11.12
二項定理とは、 ( a ＋ b ) n のような２つの項の和の累乗の展開式の係数がどのようになるかを示す定理です。
第０項から始まる二項係数の数列： { nC0 nC1 nC2 nC3 nC4 ・・・・ nCn }
この数列の母関数 f ( x ) は次のようになります。
f ( x ) ＝ nC0 x0 ＋ nC1 x1 ＋ nC2 x2 ＋ nC3 x3 ＋ nC4 x4 ＋ ・・・・ ＋ nCn xn
f ( x ) は次のようにも表すことができます。
f ( x ) ＝ ( 1 ＋ x ) n ＝ ( x 0 ＋ x 1 ) n
したがって、二項係数の数列の母関数は ( 1 ＋ x ) n という簡単な式で表されるということが分かります。
このことから、二項係数の数列の和を簡単に求めることができます。
f ( 1 ) ＝ nC0 ＋ nC1 ＋ nC2 ＋ nC3 ＋ nC4 ＋ ・・・・ ＋ nCn
＝ ( 1 ＋ 1 ) n ＝→ 2 n