【 問 題 １ 】

全体集合を０を含まない自然数とする。
a ＋ b ＋ c ＝ 100　を満たす a と b と c の組み合わせは何通りあるか？

【 解 答 】

　それは、一列に並べた100個の碁石の間に３つに分ける境界となるマッチを２本置く全ての場合の数だから、 ₉₉C₂ ＝→ 4851 通り である。

【 問 題 ２ 】

全体集合を０を含む自然数とする。
a ＋ b ＋ c ＝ 100　を満たす a と b と c の組み合わせは何通りあるか？

【 解 答 】

１つのみが 100 である場合： ３通り
１つのみが 0 である場合： ３×99 ＝→ 297 通り
どれも 0 でない場合： ₉₉C₂ ＝→ 4851 通り

以上の３つを加えて、答えは　5151 通り

【 別 解 】

　まず、d ＝ b ＋ c と置き、a ＋ d ＝ 100　を満たす a と d の組み合わせは何通りあるかを考える。それは、一列に並べた100個の碁石の間（ 両端も含む ）に２つに分ける境界となるマッチを１本置く全ての場合の数だから、( 100 −1 ) ＋ 2 ＝→ 101 通り である。

　このことから、一般的に、a ＋ d ＝ n　を満たす a と d の組み合わせは n＋1 通りあることが分かる。

　では、これから解答の本番である。
a ＝ 0　のとき、 b ＋ c ＝ 100　を満たす b と c の組み合わせは 101 通り ある。
a ＝ 1　のとき、 b ＋ c ＝ 99　を満たす b と c の組み合わせは 100 通り ある。
a ＝ 2　のとき、 b ＋ c ＝ 98　を満たす b と c の組み合わせは 99 通り ある。
a ＝ 3　のとき、 b ＋ c ＝ 97　を満たす b と c の組み合わせは 98 通り ある。
　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　・
a ＝ 99　のとき、 b ＋ c ＝ 1　を満たす b と c の組み合わせは 2 通り ある。
a ＝ 100　のとき、 b ＋ c ＝ 0　を満たす b と c の組み合わせは 1 通り ある。
これらを全て加えると、
　　　1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋・・・・＋ 100 ＋ 101　＝→　( 101＋1 ) × 101 ÷ 2　＝→　5151 通り