問題 ：　 ｎ 本の直線で平面を最大何個に分割できますか？


解答 ：

　 直線で平面を最大に分割するための必要十分条件は、 平行な直線が存在しないこと、 かつ、 ３本以上の直線が１点で交わらないことです。
　 上記の条件を満足しながらｎ本目の直線を描くと、 その直線は他の直線によってｎ個の線分に分割され、 それぞれの線分が１つずつ分割領域を増やします。 したがって、 ｎ本目の直線は、 分割領域をｎ個増やします。 したがって、 ｎ本の直線によってできる最大の分割領域個数を Ｐ（ ｎ ) とすると、 次の漸化式が成り立ちます。

　　　　　Ｐ（ ｎ ） ＝　Ｐ（ ｎ−１ ) ＋ ｎ

　　したがって、
　　　　　Ｐ（ １ ） ＝　２
　　　　　Ｐ（ ２ ） ＝　Ｐ（ １ ) ＋ ２
　　　　　Ｐ（ ３ ） ＝　Ｐ（ ２ ) ＋ ３
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
　　　　　Ｐ（ ｎ−１ ） ＝　Ｐ( ｎ−２ ) ＋ ｎ−１
　　　　　Ｐ（ ｎ ） ＝　Ｐ（ ｎ−１ ) ＋ ｎ

　　辺々を加えると、
　　　　　Ｐ（ ｎ ） ＝　２ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ・ ・ ・ ・ ＋ （ ｎ−１ ） ＋ ｎ
　　　　　　　　　　 ＝　１ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ・ ・ ・ ・ ＋ （ ｎ−１ ） ＋ ｎ