虚数をかけるということは、ガウス平面上で、複素ベクトルを反時計回りに90°回転させるということです。

　　　\( 1\ =\ e^{\ i\ 2nπ}　　　i\ =\ e^{\ i\ ( \frac{π}{\ 2\ }+2nπ )}　　　-1\ =\ e^{\ i\ ( π+2nπ )}　　　-i\ =\ e^{\ i\ ( \frac{3π}{\ 2\ }+2nπ )} \)

　\( n \) は整数ですが、簡単化のためここでは　\( n=0 \)　の場合のみ考えます。すると、次のようになります。

　　　\( 1\ =\ e^{\ 0} \)　　　\( i\ =\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ } }　　　-1\ =\ e^{\ i\ π }　　　-i\ =\ e^{\ i\frac{3π}{\ 2\ } } \)


\(\ i\ ★\ 1\ =\ i　　　i\ ★\ i\ = -1　　　i\ ★ -1\ = -i　　　i\ ★ -i\ =\ 1 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　※ ★ は掛け算演算子です。

\[ \begin{flalign} i\ ★\ 1\ =\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ } }\ ★\ e^{\ 0}\ =\ e^{\ 0+i\frac{π}{\ 2\ }}\ =\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ }}\ =\ i&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} i\ ★\ i\ =\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ } }\ ★\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ } }\ =\ e^{\ i\ (\frac{π}{\ 2\ }+\frac{π}{\ 2\ })}\ =\ e^{\ i\ π}\ =-1&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} i\ ★-1\ =\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ } }\ ★\ e^{\ i\ π }\ =\ e^{\ i\ (π+\frac{π}{\ 2\ })}\ =\ e^{\ i\frac{3π}{\ 2\ }}\ =-i&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} i\ ★-i\ =\ e^{\ i\frac{π}{\ 2\ } }\ ★\ e^{\ i\frac{3π}{\ 2\ } }\ =\ e^{\ i\ (\frac{3π}{\ 2\ }+\frac{π}{\ 2\ })}\ =\ e^{\ i\ 2π}\ =\ 1&& \end{flalign} \]