１　１　２　３　５　８　13　21 ・ ・ ・ 　と続く数列は、 フィボナッチ数列と言われ、 次のような漸化式を持ちます。

　　　　

フィボナッチ数列の ｎ項目の値 と ｎ項目までの和 を求めてみましょう。

　
　

　 と置くと、 ですから、 は次のようになります。
　　　　　
　 これは、 初項 公比 の等比数列です。 初項 ｄ 公比 ｒ の等比数列の場合、 ｎ項目は ですから、 この等比数列のｎ項目の値は次のようになります。
　　　　　　　
　　　　　したがって、
　　　　　　　

　 と置くと、 ですから、 は次のようになります。
　　　
これは等比数列で、 ｎ項目の値は次のようになります。
　　　　　　　
　　　　　したがって、
　　　　　　　
ちなみに、 は 「 黄金比 」 です。

さて、 から を辺々引くと、
　　　　

　 これで、 フィボナッチ数列の ｎ項目の値 が解りました。
次は、 ｎ項目までの和 を求めてみましょう。

　　　　　

　 辺々加えると、

　　　　　
　　　　　

以上、 と が今回求めたかった式です。