【 問 題 】

フィボナッチ数列の隣り合う２項は互いに素であることを証明せよ。
　　１　　１　　２　　３　　５　　８　　13　　21　　34　・ ・ ・

【 解 答 】

全体集合を自然数とする。
フィボナッチ数列の隣り合う２項は互いに素でないと仮定する。
すると、 次の３つの式が成り立つ。
　　F_n−1 ＋ F_n　＝ F_n＋1
　　F_n ＝ ｋａ
　　F_n＋1 ＝ ｋｂ
F_n−1 ＝ F_n＋1 − F_n ＝→　ｋ（ ｂ−ａ ）
したがって、 F_n−1　と　F_n も互いに素でない。
これを繰り返していくと、 F₃　と　F₄ も互いに素でないことになるが、
実際は F₃　＝ ２　で　F₄ ＝ ３ であるから矛盾する。
よって、 フィボナッチ数列の隣り合う２項は互いに素である。

【 別 解 】

A と B が互いに素ならば、 A と A+B は互いに素であり、かつ、 B と A+B は互いに素である。
　　　　　参照： 数理論 ＞ 互いに素
フィボナッチ数列の 第１項 と 第２項 は 1 であり、 1 と 1 は互いに素である。
　　　　　コメント： 互いに素 とは１よりも大きな公約数がないことである。
したがって、第２項 と 第３項 は互いに素である。したがって、 第３項 と 第４項 は互いに素である。
同様にして、一般的にフィボナッチ数列の 第n項 と 第(n＋1)項 は互いに素であることが分かる。