1 から 5k までの 5k 個の自然数の要素で構成される集合があります。
この集合の部分集合（ 空集合や全体集合を含める ）が何個あるかというと、2^5k 個 です。
たとえば、k＝1 のときは、2⁵ ＝→ 32 個 です。

｛　｝
｛ 1 ｝　｛ 2 ｝　｛ 3 ｝　｛ 4 ｝　｛ 5 ｝
｛ 1, 2 ｝　｛ 1, 3 ｝ ｛ 1, 4 ｝　｛ 1, 5 ｝　｛ 2, 3 ｝　｛ 2, 4 ｝　｛ 2, 5 ｝　｛ 3, 4 ｝ ｛ 3, 5 ｝　｛ 4, 5 ｝
｛ 1, 2, 3 ｝　｛ 1, 2, 4 ｝　｛ 1, 2, 5 ｝　｛ 1, 3, 4 ｝　｛ 1, 3, 5 ｝
｛ 1, 4, 5 ｝　｛ 2, 3, 4 ｝　｛ 2, 3, 5 ｝　｛ 2, 4, 5 ｝　｛ 3, 4, 5 ｝
｛ 1, 2, 3, 4 ｝　｛ 1, 2, 3, 5 ｝　｛ 1, 2, 4, 5 ｝　｛ 1, 3, 4, 5 ｝　｛ 2, 3, 4, 5 ｝
｛ 1, 2, 3, 4, 5 ｝

2^5k 個 の部分集合のうち、全ての要素の数(すう)の合計が５の倍数になっているものは何個あるかというと、それは次の式で与えられます。
　　　

たとえば、k＝1 のときは、８個です。
　　　｛　｝　｛ 5 ｝　｛ 1, 4 ｝　｛ 2, 3 ｝　｛ 1, 4, 5 ｝　｛ 2, 3, 5 ｝　｛ 1, 2, 3, 4 ｝　｛ 1, 2, 3, 4, 5 ｝
k＝1 のとき、答えを導く面白い方法があります。それは次の式を展開することです。
　　　(1＋x¹)(1＋x²)(1＋x³)(1＋x⁴)(1＋x⁵)
展開すると次のようになります。
　　　x⁰＋x¹＋x²＋2x³＋2x⁴＋3x⁵＋3x⁶＋3x⁷＋3x⁸＋3x⁹＋3x¹⁰＋2x¹¹＋2x¹²＋x¹³＋x¹⁴＋x¹⁵
x の指数は要素の数(すう)の総和に相当し、係数はその要素の数(すう)の総和になっている部分集合の数(かず)に相当します。
そこで、x⁰ と x⁵ と x¹⁰ と x¹⁵ の係数の総和をとって、８となります。

これから、�@ の式を導いてみます。まず次のような関数を用意します。
　　　f (x) ＝ (1＋x¹)(1＋x²)(1＋x³)・・・(1＋x^5k−1)(1＋x^5k)　　　・・・ �A

次に、５乗すると１になる５つの複素数を考えます。それらを w₁ から w₅ とします。
　　　w₁ ＝ e^{2π×(1/5) i}　　w₂ ＝ e^{2π×(2/5) i}　　w₃ ＝ e^{2π×(3/5) i}　　w₄ ＝ e^{2π×(4/5) i}　　w₅ ＝ e^{2π×(5/5) i}

w₁ から w₅ は全て x に代入すると次の式を満たします。
　　　x⁵−1 ＝ (x−w₁)(x−w₂)(x−w₃)(x−w₄)(x−w₅) ＝ 0　　　・・・ �B

また、次の式が成り立ちます。
　　　w₁＋w₂＋w₃＋w₄＋w₅ ＝ 0

また、次の式たちが成り立ちます。
　　　w₁² ＝ w₂　　w₁³ ＝ w₃　　w₁⁴ ＝ w₄　　w₁⁵ ＝ w₅
　　　w₂² ＝ w₄　　w₂³ ＝ w₁　　w₂⁴ ＝ w₃　　w₂⁵ ＝ w₅
　　　w₃² ＝ w₁　　w₃³ ＝ w₄　　w₃⁴ ＝ w₂　　w₃⁵ ＝ w₅
　　　w₄² ＝ w₃　　w₄³ ＝ w₂　　w₄⁴ ＝ w₁　　w₄⁵ ＝ w₅
　　　w₅² ＝ w₅　　w₅³ ＝ w₅　　w₅⁴ ＝ w₅　　w₅⁵ ＝ w₅

したがって、次の式たちが成り立ちます。
　　　w₁²＋w₂²＋w₃²＋w₄²＋w₅² ＝→ w₁＋w₂＋w₃＋w₄＋w₅ ＝ 0
　　　w₁³＋w₂³＋w₃³＋w₄³＋w₅³ ＝→ w₁＋w₂＋w₃＋w₄＋w₅ ＝ 0
　　　w₁⁴＋w₂⁴＋w₃⁴＋w₄⁴＋w₅⁴ ＝→ w₁＋w₂＋w₃＋w₄＋w₅ ＝ 0
　　　w₁⁵＋w₂⁵＋w₃⁵＋w₄⁵＋w₅⁵ ＝→ 5 × w₅ ＝→ 5 × 1 ＝→ 5
　　　w₁⁶＋w₂⁶＋w₃⁶＋w₄⁶＋w₅⁶ ＝→　w₁⁵ × w₁ ＋ w₂⁵ × w₂ ＋ w₃⁵×w₃ ＋ w₄⁵ × w₄ ＋ w₅⁵ × w₅
　　　　　　　　　　　　　 　　　＝→　w₁＋w₂＋w₃＋w₄ ＋ w₅ ＝ 0

式�A に x＝w₁ を代入すると、
　　　f (w₁) ＝ (1＋w₁¹)(1＋w₁²)(1＋w₁³)・・・(1＋w₁^5k−1)(1＋w₁^5k)
　　　　　　＝ c₀＋c₁w₁¹＋c₂w₁²＋c₃w₁³＋c₄w₁⁴＋c₅w₁⁵＋c₆w₁⁶＋・・・・
同様にして、次の式たちが成り立ちます。
　　　f (w₂) ＝ (1＋w₂¹)(1＋w₂²)(1＋w₂³)・・・(1＋w₂^5k−1)(1＋w₂^5k)
　　　　　　＝ c₀＋c₁w₂¹＋c₂w₂²＋c₃w₂²＋c₄w₂⁴＋c₅w₂⁵＋c₆w₂⁶＋・・・・
　　　f (w₃) ＝ (1＋w₃¹)(1＋w₃²)(1＋w₃³)・・・(1＋w₃^5k−1)(1＋w₃^5k)
　　　　　　＝ c₀＋c₁w₃¹＋c₂w₃²＋c₃w₃³＋c₄w₃⁴＋c₅w₃⁵＋c₆w₃⁶＋・・・・
　　　f (w₄) ＝ (1＋w₄¹)(1＋w₄²)(1＋w₄³)・・・(1＋w₄^5k−1)(1＋w₄^5k)
　　　　　　＝ c₀＋c₁w₄¹＋c₂w₄²＋c₃w₄²＋c₄w₄⁴＋c₅w₄⁵＋c₆w₄⁶＋・・・・
　　　f (w₅) ＝ (1＋w₅¹)(1＋w₅²)(1＋w₅³)・・・(1＋w₅^5k−1)(1＋w₅^5k)
　　　　　　＝ c₀＋c₁w₅¹＋c₂w₅²＋c₃w₅²＋c₄w₅⁴＋c₅w₅⁵＋c₆w₅⁶＋・・・・

f (w₁)＋f (w₂)＋f (w₃)＋f (w₄)＋f (w₅)
　　　　　　　　　＝ 5c₀ ＋ c₁ (w₁¹＋w₂¹＋w₃¹＋w₄¹＋w₅¹)
　　　　　　　　　　　 　＋ c₂ (w₁²＋w₂²＋w₃²＋w₄²＋w₅²)
　　　　　　　　　　　 　＋ c₃ (w₁³＋w₂³＋w₃³＋w₄³＋w₅³)
　　　　　　　　　　　 　＋ c₄ (w₁⁴＋w₂⁴＋w₃⁴＋w₄⁴＋w₅⁴)
　　　　　　　　　　　 　＋ c₅ (w₁⁵＋w₂⁵＋w₃⁵＋w₄⁵＋w₅⁵)
　　　　　　　　　　　 　＋ c₆ (w₁⁶＋w₂⁶＋w₃⁶＋w₄⁶＋w₅⁶)
　　　　　　　　　　　 　＋ ・・・・・
　　　　　　　　　＝ 5c₀ ＋ 5c₅ ＋ 5c₁₀ ＋ 5c₁₅ ＋ ・・・・＋ 5c_5k(5k＋1)/2　　　　・・・ �C

さて、�B の ＝ 0 を削除した式に x＝−1 を代入すると、
　　　(−1)⁵−1 ＝ (−1−w₁)(−1−w₂)(−1−w₃)(−1−w₄)(−1−w₅) ＝ 0
よって、
　　　2 ＝ (1＋w₁)(1＋w₂)(1＋w₃)(1＋w₄)(1＋w₅)

式�A に x＝w₁ を代入すると、
　　　f (w₁) ＝ (1＋w₁¹)(1＋w₁²)(1＋w₁³)・・・(1＋w₁^5k−1)(1＋w₁^5k)
　　　　　　＝ {(1＋w₁)(1＋w₂)(1＋w₃)(1＋w₄)(1＋w₅)}^k
　　　　　　＝ 2^k
同様にして、次の式たちが成り立ちます。
　　　f (w₂) ＝ (1＋w₂¹)(1＋w₂²)(1＋w₂³)・・・(1＋w₂^5k−1)(1＋w₂^5k)
　　　　　　＝ {(1＋w₁)(1＋w₂)(1＋w₃)(1＋w₄)(1＋w₅)}^k
　　　　　　＝ 2^k
　　　f (w₃) ＝ (1＋w₃¹)(1＋w₃²)(1＋w₃³)・・・(1＋w₃^5k−1)(1＋w₃^5k)
　　　　　　＝ {(1＋w₁)(1＋w₂)(1＋w₃)(1＋w₄)(1＋w₅)}^k
　　　　　　＝ 2^k
　　　f (w₄) ＝ (1＋w₄¹)(1＋w₄²)(1＋w₄³)・・・(1＋w₄^5k−1)(1＋w₄^5k)
　　　　　　＝ {(1＋w₁)(1＋w₂)(1＋w₃)(1＋w₄)(1＋w₅)}^k
　　　　　　＝ 2^k
　　　f (w₅) ＝ (1＋w₅¹)(1＋w₅²)(1＋w₅³)・・・(1＋w₅^5k−1)(1＋w₅^5k)
　　　　　　＝ (1＋w₅)^5k
　　　　　　＝ 2^5k

f (w₁)＋f (w₂)＋f (w₃)＋f (w₄)＋f (w₅) ＝ 2^5k ＋ 4×2^k　　　　・・・ �D

�C と �D より、