全体集合を自然数とします。
MOD (a,b) は a を ｂ で割った余りを出力する関数です。


数列 { 1　2 } があります。
この数の並び方は次の規則によります。
　　　K_n ＝ MOD (2ⁿ⁻¹,3)　　　( 1 ≦ n ≦ 2 )　　　※ K_n は 左から n 番目の数を表す。
この数列を 関数 MOD (2×k_n,3) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 2　1 }
これをさらに 関数 MOD (2×k_n,3) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 1　2 }
以上、順番に数列が左に１個ずつシフトして（ 左に押し出されると右から入る ）２回の操作で元に戻りました。


数列 { 1　2　4　3 } があります。
この数の並び方は次の規則によります。
　　　K_n ＝ MOD (2ⁿ⁻¹,5)　　　( 1 ≦ n ≦ 4 )
この数列を 関数 MOD (2×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 2　4　3　1 }
これをさらに 関数 MOD (2×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 4　3　1　2 }
これをさらに 関数 MOD (2×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 3　1　2　4 }
これをさらに 関数 MOD (2×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 1　2　4　3 }
以上、順番に数列が左に１個ずつシフトして ( 巡回置換を繰り返して ) ４回の操作で元に戻りました。


数列 { 1　3　4　2 } があります。
この数の並び方は次の規則によります。
　　　K_n ＝ MOD (3ⁿ⁻¹,5)　　　( 1 ≦ n ≦ 4 )
この数列を 関数 MOD (3×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 3　4　2　1 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 4　2　1　3 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 2　1　3　4 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,5) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 1　3　4　2 }
以上、順番に数列が左に１個ずつシフトして４回の操作で元に戻りました。


数列 { 1　2　4　1　2　4 } があります。
この数の並び方は次の規則によります。
　　　K_n ＝ MOD (2ⁿ⁻¹,7)　　　( 1 ≦ n ≦ 6 )
この数列は、同じ数が登場しています。


数列 { 1　3　2　6　4　5 } があります。
この数の並び方は次の規則によります。
　　　K_n ＝ MOD (3ⁿ⁻¹,7)　　　( 1 ≦ n ≦ 6 )
この数列を 関数 MOD (3×k_n,7) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 3　2　6　4　5　1 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,7) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 2　6　4　5　1　3 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,7) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 6　4　5　1　3　2 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,7) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 4　5　1　3　2　6 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,7) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 5　1　3　2　6　4 }
これをさらに 関数 MOD (3×k_n,7) を用いて置換すると、次のようになります。
　　　{ 1　3　2　6　4　5 }
以上、順番に数列が左に１個ずつシフトして６回の操作で元に戻りました。


いろいろ試してみてください。

5 〜 23 の素数： 　 　




参考：
巡回置換を表す関数： ( 1　2　4　3 )
　　　　（ 使い方 ）　 ( 1　2　4　3 ) ◇ { 1　2　4　3 } ＝→ { 2　4　3　1 }
　　　　　　　　※ 参考： その他の数学 ＞ 置換群 （ 対称群 ）