１の５乗根の複素平面 数理論 へ戻る
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2022.09.27____

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【 問 題 】

全体集合を複素数とする。
x⁴＋x³＋x²＋x＋1 ＝ 0　の解は次のように表されることを示せ。
　　　cos (2nπ/5) ＋ i sin (2nπ/5)　　※ n ＝ 1,2,3,4

　【 解 答 】

x⁴＋x³＋x²＋x＋1 に x＝1 を代入すると 5 となるので、x＝1 は x⁴＋x³＋x²＋x＋1＝0 の解ではない。
0 ＝ x⁴＋x³＋x²＋x＋1　の両辺に x−1 をかけて、
　　　0 ＝ (x−1)(x⁴＋x³＋x²＋x＋1)　＝→　x⁵−1
したがって、 x⁵ ＝ 1

　５乗して１になる複素数 の 大きさ (絶対値) は 1 である。大きさ (絶対値) が１の複素数を５乗するとは、複素平面においてその複素ベクトルを反時計回りに複素ベクトルの偏角が５倍になるまで回転させるということなので、偏角を５倍したときにそれが 2π の整数倍になる 大きさ (絶対値) が１の複素数 が、５乗して１になる複素数である。

　ということは、x ＝ cos (2nπ/5) ＋ i sin (2nπ/5) 　※ n ＝ 0,1,2,3,4　となるが、
x ≠ 1 なので、x ＝ cos (2nπ/5) ＋ i sin (2nπ/5)　　※ n ＝ 1,2,3,4　である。

　【 解 説 】

x⁴＋x³＋x²＋x＋1 ＝ 0　を　複素ベクトルの合成式と考えると、次のようになる。
　　　W⁰＋W¹＋W²＋W³＋W⁴ ＝ 0
　　　　　　　　　W⁰ ＝ 1
　　　　　　　　　W¹ ＝ cos (2π/5) ＋ i sin (2π/5)
　　　　　　　　　W² ＝ cos (4π/5) ＋ i sin (4π/5)
　　　　　　　　　W³ ＝ cos (6π/5) ＋ i sin (6π/5)
　　　　　　　　　W⁴ ＝ cos (8π/5) ＋ i sin (8π/5)

複素平面で、原点＝正五角形の中心 から 正五角形の各頂点へ向かう複素ベクトルを合成すると 0 になる。

ちなみに、 ω ＝ cos (2nπ/3) ＋ i sin (2nπ/3)　　※ n ＝ 1,2　である。

　※ 参考：　その他の数学 ＞ 特殊な４次方程式を解く