【 問 題 】

　 ４桁の整数で、 上２桁と下２桁の数を足して2乗すると、 その数になるものを、
2025 以外にあと２つ見つけよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 1978 群馬大学入試問題 より ）

【 解 答 】

　Ｎ ＝ 1000ａ ＋ 100ｂ ＋ 10ｃ ＋ ｄ　　（ ａ,ｂ,ｃ,ｄ は １ 〜 10 までの自然数 ）
　 x ＝ 10ａ ＋ ｂ
　 y ＝ 10ｃ ＋ ｄ
　Ｎ ＝ 100 x ＋ y

以上のように置いてから、（ x ＋ y ）² ＝ 100 x ＋ y　・ ・ ・ 　を満たす x と y を探す。

まず、　（ x ＋ y ）² ＜ 10000　より、　x ＋ y ＜ 100
次に、 より、
　　　　　（ x ＋ y ）² − （ x ＋ y ） ＝ 99 x
　　　　　よって、　（ x ＋ y ）（ x ＋ y − １ ） ＝ 3² × 11 × x

（１） （ x ＋ y ） が 99 の倍数であるとき
　　　　　x ＋ y ＝ 99　　　x ＋ y − １ ＝　98　=　x
　　　　　したがって、　x ＝ 98　　　y ＝ 1
　　　　　よって、 Ｎ ＝ 9801

（２） （ x ＋ y − １ ） が 99 の倍数であるとき
　　　　　x ＋ y ＝ 100　となり、 Ｎ は５桁の数になってしまうのでダメ。

（３） （ x ＋ y ） が 9 の倍数であり、（ x ＋ y − １ ） が 11 の倍数であるとき
　　　　　x ＋ y ＝ 45　　　x ＋ y − １ ＝ 44　　　45 × 44 ＝ 99 x
　　　　　したがって、　x ＝ 20　　　y ＝ 25
　　　　　よって、 Ｎ ＝ 2025

（４） （ x ＋ y ） が 11 の倍数であり、 （ x ＋ y − １ ） が 9 の倍数であるとき
　　　　　x ＋ y ＝ 55　　　x ＋ y − １ ＝ 54　　　55 × 54 ＝ 99 x
　　　　　したがって、　x ＝ 30　　　y ＝ 25
　　　　　よって、 Ｎ ＝ 3025

（５） （ x ＋ y ）が 3 の倍数であり、 （ x ＋ y − １ ） が 33 の倍数であるとき
　　　　　そういったケースはない。

（６） （ x ＋ y ） が 33 の倍数であり、 （ x ＋ y − １ ） が 3 の倍数であるとき
　　　　　そういったケースはない。

以上より、　答えは　9801　と　3025　である。